江苏省江阴市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）.docx

江阴市第一中学20182019学年度第二学期期中试卷高二数学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.若复数，则的共轭复数是_【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法法则化简复数z,再求z的共轭复数得解.【详解】由题得.所以z的共轭复数为.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.同一排的电影票5张，2个老师和3个学生就座，如果学生不相邻，则有_种不同的坐法（用数字作答）【答案】12【解析】【分析】先排两个老师，再利用插空法排3个学生，即得解.【详解】先排两个老师，有种方法，再把三个学生插入两个老师的空位中，有种方法，由乘法分步原理得共有.故答案为：12【点睛】本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若，则的值为 【答案】7【解析】试题分析：由可得.考点：排列数及组合数的计算.4.在一长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率为_【答案】【解析】试题分析：设“长为3m的线段AB”对应区间,“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件 A，则满足A的区间为根据几何概型的计算公式可得，考点：几何概型5.江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有_种不同的选课组合（用数字作答）【答案】13【解析】【分析】先从物理和历史中选择一门学科，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，再根据题意求解.【详解】先从从物理和历史中选择一门学科有种，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合有种，所以共有种.故答案为：13【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为_【答案】【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】由题得总的基本事件个数为，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为，由古典概型的概率公式得.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.若，则_【答案】40【解析】【分析】由二项式定理，可得的展开式的通项，写出含的项，结合题意可得，即可得，再根据通项可得，计算可得答案【详解】的展开式的通项为，则含的项为，又由题意，可得，即，则；故答案为:40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知离散型随机变量X分布列如下表所示若，则的值为_-1012【答案】【解析】【分析】根据题目条件中给出的分布列，可以知道、和之间的关系，根据期望为0和方差是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值【详解】由题知，由题得，则故选：【点睛】本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，通过关系列出方程组，本题的运算量不大，解题时要认真9.若的展开式中第6项的系数最大，则不含的项等于_【答案】210【解析】【分析】如果是奇数，那么是中间两项的二项式系数最大，如果是偶数，那么最中间项的二项式系数最大，由此可确定的值，进而利用展开式，即可求得常数项【详解】如果是奇数，那么是中间两项的二项式系数最大，如果是偶数，那么中间项的二项式系数最大.当n=10时，展开式中只有第六项的二项式系数最大，展开式的通项为，令，可得展开式中的常数项等于.当n=9时，展开式有10项，中间第5项和第6项的二项式系数最大，此时展开式的通项为，令27-5r=0,没有整数解.当n=11时，展开式有12项，中间的第6项和第7项的二项式系数最大，此时展开式的通项为，令33-5r=0,没有整数解.故答案为：210【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，考查二项式系数的性质，正确利用二项展开式是关键10.除以的余数为_【答案】7【解析】试题分析：因为 ，所以除以9的余数为考点：二项式定理应用11.用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有_个（用数字作答）【答案】24【解析】试题分析：首先考虑1在前2在后，22+32+22=14再考虑2在前1在后，22+32=10共有24个满足条件偶数考点：排列、组合。12.定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .【答案】【解析】由新定义运算知，因为，所以，当且仅当时，的最小值是.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.13.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得类比上述过程，则_【答案】3【解析】由已知代数式的求值方法：先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根)，可得要求式子。令，则两边平方得,则3+2，即，解得，m=3，m=1舍去。故答案为3.14.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数类似地，称图2中的1，4，9，16，的数为正方形数观察下列数：144；289；1024； 1225； 1378其中，既是三角形数又是正方形数的是_ (写出所有符合要求的数的序号)【答案】【解析】【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果【详解】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除，又由，无正整数解，所以排除，故答案为：点睛】考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.设，求：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）1；（2）243；（3）122；（4）【解析】【分析】（1）令x=1即得；（2）在中，令得解；（3）先求出f(1)f(-1)即得解；（4）求f(1)f(-1)即得解.【详解】，（1）令，可得；（2）在中，令，可得；（3）令f(x)=,f(1)=,所以f(-1)=，所以f(1)-f(-1)=2,所以 （4）【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.复数，（其中为虚数单位，），（1）当时，求复数模； （2）当实数为何值时复数为纯虚数；（3）当实数为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）整理得，再求复数的模；（2）由题得，解不等式组即得解；（3）由题得，解不等式得解.【详解】由已知整理得： （1）当时，（2）当，即，复数为纯虚数（3）当，即，即时，复数在复平面内对应的点在第二象限【点睛】本题主要考查复数的模的求法，考查复数纯虚数的概念，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.(1)设是两个正实数，且，求证：；（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程， 中至少有一个方程有两个相异实根【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.【详解】(1)证明：，而均为正数，成立(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则，相加有，则，与由题意、互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根【点睛】本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用,分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望【答案】（1）；（2）分布列详见解析，【解析】试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先求出每个人去淘宝网购物的概率，去京东商城购物的概率，再利用二项分布计算恰有1人去淘宝购物的概率；第二问，先写出X的所有可能取值，再利用二项分布分布求出概率，列出分布列，再利用求出随机变量X的数学期望试题解析：依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件，则（）这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率（II）易知的所有可能取值为,所以的分布列是034P随机变量的数学期望考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望19.已知数列和，其中，当时，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论【答案】见解析【解析】【分析】先通过列举得到当时，猜想：当时，再利用数学归纳法证明后面的结论.【详解】由已知得，当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，由此得到，当时，猜想：当时，前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：当时，上面已证假设当时，上述结论成立，即当时，当时，要证，即证，只需证，根据归纳假设，所以只需证，即证，即证因为，所以此式显然成立故当时结论成立由可知，对任何结论都成立【点睛】本题主要考查数学归纳法证明和分析法证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知数列通项公式为，其中为常数，且，等式，其中为实常数（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值【答案】（1）6143；（2）2；【解析】试题分析