必修3第一章(算法).doc

必修3知识总结第一章 算法初步 本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.翻译：算法 程序框图 算法语句一、算法重点：算法的含义及应用. 难点：写出解决一类问题的算法.（1）算法的定义：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.（2）算法的特征：确定性：准确无误、不重不漏。逻辑性：环环相扣，分工明确.有穷性：算法要有明确的开始和结束，必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行. 二、程序框图与算法的基本逻辑结构重点：程序框图的三种基本逻辑结构. 程序框图的画法.（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.（2）基本程序框、流程线的表示功能 （p6表12）（3）程序框图包含三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构.条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框 图1 图2注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.循环结构：在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 反复执行的步骤称为循环体.循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构. 两种循环结构的不同点：直到型循环结构是程序先进入循环体，然后对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环.当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环. 两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体.在一定条件下，两者可以互化.（4）程序框图的画法 设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤： 第一步，用自然语言表达算法步骤. 第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框表示，得到该步骤的程序框图. 第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图.三、基本算法语句（一）输入语句、输出语句和赋值语句重点：输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. 难点：算法语句的写法. (1)输入语句的格式：INPUT“提示内容”； 变量例如：INPUT “x=”；x功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.要求：1输入语句要求输入的值是具体的常量，不能是计算表达式.2提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容 “原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开。 “提示内容”和它后面的“；”可以省略3一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔.形式如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c(2)输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式例如：PRINT“S=”；S功能：实现算法输出信息（表达式）的功能.要求：1表达式是指算法和程序要求输出的信息.2提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开.3如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔.形式如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c(3)赋值语句的一般格式：变量=表达式.赋值语句中的“”称作赋值号.功能：将表达式所代表的值赋给变量.要求：1赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.如：2=x是错误的. 一个语句只能给一个变量赋值.2赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量.如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的，如x=5是对的，5=x是错的，A+B=C是错的，C=A+B是对的.3不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等），如y=x21=(x1)(x+1)，这是实现不了的.在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以多次赋值.(4)表达式的输入x3=x3，=(a+b+c)/3，ab=a*b，=SQR(x), |x| =ABS（x），a除以b的余数=a MOD b（二）基本逻辑结构语句重点：各种语句的基本用法. 难点：各种语句的写法.(1) 条件语句两种条件语句 “IFTHEN”语句 & “IFTHENELSE”语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句.不同点：对于“IFTHENELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句体2”.对于“IFTHEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.（2）循环语句两种循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系.1直到型循环结构：2当型循环结构：相同点：都是反复执行循环体语句.不同点：当型循环语句是先判断后循环，直到型循环语句是先循环后判断.四、算法案例（见课本）案例1 辗转相除法与更相减损法案例2 秦九韶算法案例3 排序案例4 进位制第二章 统计本章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。一、随机抽样（一）简单随即抽样重点：理解随机抽样的必要性和重要性，用抽签法和随机数法抽取样本的实施步骤(1)一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.抽签法的步骤是：1将总体中个体从1N编号；2将所有编号1N写在形状、大小相同的号签上；3将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；4从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；5从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出(2)抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平因此说当总体中的个体数很多时，用抽签法不方便这时用随机数法(3)随机数表法的步骤：1将总体中个体编号；2在随机数表中任选一个数作为开始；3规定从选定的数读取数字的方向；4开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为止；5根据选定的号码抽取样本 (4)综上所述可知，简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的.但是，如果总体中的个体数很多时，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也并不方便快捷.另外，要想“搅拌均匀”也非常困难，这就容易导致样本的代表性差.（适用于小样本）（二）系统抽样重点：实施系统抽样的步骤难点：当不是整数，如何实施系统抽样（剔除）(1)一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.其步骤是：1采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号;2将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(kN,lk);3在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（lN,lk）;4按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k)，再加上k得到第3个个体编号(l+2k)，这样继续下去，直到获取整个样本说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想(2)系统抽样的特点是：1当总体容量N较大时，采用系统抽样；2将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k3预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号（三）分层抽样重点：分层抽样的概念及其步骤确定各层的入样个体数目，以及根据实际情况选择正确的抽样方法(1)一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样(2)分层抽样的步骤：分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；按抽样比确定每层抽取个体的个数；各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；综合每层抽样，组成样本(3)分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：分层时将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构一致性分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等当总体个体差异明显时，采用分层抽样二、用样本估计总体（一）用样本的频率分布估计总体分布重点：会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布.（1）频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.（2）画频率分布直方图的一般步骤为：1找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差 2决定组距和组数 3确定分点 4列出频数分布表 5画频数分布直方图（3）频率分布直方图的特征：从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,（4）连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.（5）当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.画茎叶图的步骤如下：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字;将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.（6）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录(这对于教练员发现运动员现场状态特别有用);而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作.正确利用三种分布的描述方法，都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、是否具有对称性、样本点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的随机性的影响比较小,更接近于总体分布的相应的特点.频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的,它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式,茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数.（二）用样本的数字特征估计总体的数字特征重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性. 难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题.（1）众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数） 利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.（2）标准差 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差. 标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解: 假设样本数据是x1,x2,xn,表示这组数据的平均数.xi到的距离是|xi-|(i=1,2,n).于是,样本数据x1,x2,xn到的“平均距离”是S=.由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差:s=.意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数. 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的. 标准差与方差两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.三、变量间的相关关系重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程 (1)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(2)两个变量间的相关关系的判断：散点图.根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.正相关、负相关的概念.（3）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（4）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（5）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. 从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.回归方程的斜率与截距的一般公式其中，b是回归方程的斜率，a是截距.第三章 概率内容：随机事件的概率的统计定义,概率的意义及其基本性质；古典概型的特征及概率的计算公式；几何概型的特征及概率的计算公式；利用随机模拟的方法估计随机事件的概率.一、随机事件的概率重点：1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 2.正确理解概率的意义.（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,表示.（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.二、概率的意义、概率的基本性质重点：概率的加法公式及其应用.由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为BA（或AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若BA同时AB）,我们说这两个事件相等,即A=B.如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为AB或A+B.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为AB或AB.如果AB为不可能事件（AB=）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.如果AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.（1）概率的取值范围是01之间,即0P(A)1.（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E=出现的点数小于7,因此P(E)=1.（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F=出现的点数大于6,因此P(F)=0.（4）当事件A与事件B互斥时,AB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(AB)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.（5）事件A与事件B互为对立事件,AB为不可能事件,AB为必然事件,P(AB)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G=出现的点数为偶数与H=出现的点数为奇数互为对立事件,因此P(G)=1-P(H). 上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算.三、古典概型（1）基本事件：一次试验中的基本随机事件。基本事件具有如下的两个特点：任何两个基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.（2）在一个试验中如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？（3）利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=.在使用古典概型的概率公式时,应该注意：要判断该概率模型是不是古典概型；要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 如投色子时 P（“出现偶数点”）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=+=.四、几何概型 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P（A）=.(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=.2.与面积有关的几何概型 这里有一道十分有趣的题目：例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方