特征向量新算法及总结.doc

目录一、 内容摘要. .2二、求矩阵特征向量的一个新方法.2三、推广 .43.1 根据定义求解特征值特征向量 . 43.2 格什戈林圆盘定理.53.3 幂法.73.4 反幂法.83.5 列行互逆变换法 .93.6 列初等变换法.11四、算法及流程图.12五、程序.14六、特征值与特征根应用.16七、参考文献.16一、内容摘要本文主要是针对特征值特征向量的解法的总结与创新。首先，给出 （1）一种矩阵乘法求求矩阵特征向量的一个新方法，详细证明。然后又总结出以下算法：（2）根据定义求解特征值与特征向量，并举例（3）圆盘定理，估计特征值特点及范围，并举例、图示（4）幂法求解特征值特征向量，并举例、算法、程序（5）反幂法求解特征值特征向量最后提出两种新算法（6）列行互逆变换法（7）列初等变换法关键字：特征值 特征向量 列行互逆变换法 列初等变换法二、求矩阵特征向量的一个新方法2.2 引理1 （表示n阶复方阵集合），则可对角化的充要条件是对的每一个特征值。其中为的重数。2.3 引理2 设若可对角化,则的最小多项式为其中的所有互不相同的特征值。2.4 定理 设为的所有互不相同的特征值. 若可对角化,则的列向量为矩阵对应于特征值的特征向量,且列向量组的极大无关组是特征向量空间的一个基。1证明：因可对角化,由引理2 知,的最小多项式为，即。这表明的列向量为方程组的解向量。由引理1 知。因此齐次线性方程组的解空间维数为。 由此有。 另一方面,由Sylvester 不等式,可得下面一些详细证明步骤：假设则且则。 。 这表明矩阵的列向量组的极大无关组所含向量个数为。因而极大线性无关组就是对应于特征值的特征向量空间的一个基。例1 求矩阵的特征向量。解：解矩阵的特征方程的特征值为。由于为是对称矩阵，一定可对角化。因此的最小特征多项式为，因而有和则和对应的特征向量分别为和三、推广3.1 根据定义求解特征值特征向量例2：求的特征值与特征向量。解：所以特征值为-1和5，再将-1和5分别代入方程组中得到方程：和，并求得其基础解系分别为：和，则得出所对应的特征向量。3.2 格什戈林圆盘定理23.2.1 设，则的每一个特征值必属于下述圆盘之中或者说的特征值都在复平面上的个圆盘的并集中。3.2.2 如果的个圆盘组成一个连通的并集与余下的个圆盘是分离的，则内恰包含的个特征值。特别的，如果得一个圆盘是与其他圆盘分离的，则中精确包含的一个特征值。实轴虚轴大致内容可由上图表示：可以在两圆相交部分有一对对称的共轭复根，也可以在实轴的有一个实根。例3 估计矩阵的特征值范围。解：的3个圆盘为根据圆盘定理，可知有3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于是孤立圆盘，所以内恰好有的一个特征值，即。的其他两个特征值包含在的并集中。现在选取对角矩阵，做相似变换（相似变换不改变特征值的大小），。的3个圆盘为显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以每一个圆盘都只包含一个特征值，估计范围为：从而我们就可以估计出特征值的范围或性质，给运算或证明带来便利。3.3 幂法幂法是一种计算矩阵住特征值及其对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵。设实矩阵，有一个完全的特征向量组，其特征值为，相应的特征向量为。已知的主特征值是实根，且满足条件，我们用幂法求：我们由已知非零向量即矩阵的乘幂构造向量序列以计算的主特征值及相应的特征向量。向量的构造：具体算法：设有个线性无关的特征向量，主特征值满足，则对任意非零初始向量，按下述方法构造的向量序列则有（1）（2）例4：用幂法计算（规范化向量）（规范化向量）0（1,1,1）2.750000016（0.7483,0.6497,1）2.53658401（0.9091,0.8182,1）2.588791817（0.7482,0.6497,1）2.53655985（0.7651,0.6674,1）2.538002918（0.7482,0.6497,1）2.536545610（0.7494,0.6508,1）2.536625619（0.7482,0.6497,1）2.536537415（0.7483,06497,1）2.536584019（0.7482,06497,1）2.5365323于是我们利用幂法得出相应的特征值与特征向量：而真实值如下：可见，幂法迭代出来的结果还是很理想的。3.4 反幂法反幂法用来计算矩阵按最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。设为非奇异矩阵，的特征值次序记为，对应的特征向量为，则的特征值为对应的特征向量为。因此计算的按模最小的特征值的问题就是计算的按模最大的特征值。对于应用幂法迭代（即反幂法），可求得的主特征值，从而求得的按模最小特征值。迭代公式为：其中满足（1）（2）3.5 列行互逆变换法3定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1. 互换i、j两列,同时互换j、i两行;2. 第i列乘以非零数k , 同时第i行乘；3. 第i列k倍加到第j列, 同时第j行- k倍加到第i行。定理1复数域C上任一n阶矩阵A都与一个Jordan标准形矩阵J =相似,其中称为Jordan块,并且这个Jordan标准形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外被矩阵A唯一确定, J称为A的Jordan标准形。定理2A为任意n阶方阵,若（经过系列行列互逆变换）。其中，J =是Jordan标准形矩阵, ,。则为A的特征值,为A的对应特征值的特征向量。例5求的特征值和特征向量。解：所以特征值，对应特征值的特征向量对应的特征向量。3.6 列初等变换法设A是n阶方阵, I为n阶单位阵,为待求特征值。若对矩阵施行一系列列初等变换,可得到下三角矩阵,则令的主对角线上元素乘积为零,求得值即为矩阵A的特征值。求特征值与特征向量的具体步骤：(1) 计算,其中为含的下三角矩阵为I经过初等列变换得到的矩阵;(2)令主对角线元素之积为零,求出根即为特征值i ( i = 1, 2, , n) ;(3)将求出的i ( i = 1, 2, , n)代入中为,再进行列初等变换,当化为列阶梯形,当非零列向量个数为r时,中后的n - r个列向量即为对应的特征向量。例6（方法二）：求的特征值和特征向量。解：令主对角线元素之积为零,即,特征值。当时， 和 当时，。于是对应的特征向量。四、算法及流程图4.1、幂法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）计算v=Au,m=max(v), u= v/ m（3）若| m= m|，则停止计算（m作为绝对值最大特征值，u作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2）4.2、反幂法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）对A作LU分解，即A=LU（3）解线性方程组 Ly=u,Uv=y（4）计算 m=max(v), u= v/ m（5）若|m=m|，则停止计算（1/m作为绝对值最小特征值，u作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.开始输入A；m,u,index=pow(A,1e-6)k=0;m1=0v=A*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1) 1e-6index=1;break;输出：m，u，index结束m1=m;k=k+1开始输入A；m ,u,index =pow_inv(A,1e-6)k=0;m1=0v=invA*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1) 1e-6index=1;break;输出：m，u，index结束m1=m;k=k+1输入A；m,u,index=pow(A,1e-6)以上分别为幂法与反幂法的流程图。五、程序5.1 幂法程序/*幂法程序，函数名：pow.m*/functionm,u,index=pow(A,ep,N)%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为对应最大特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k=N v=A*u;vmax,i=max(abs(v); m=v(i);u=v/m; if abs(m-m1)ep index=1;break;end m1=m;k=k+1;end5.2 反幂法程序/*反幂法程序，函数名：pow_inv.m*/functionm,u,index=pow_inv(A,ep,N)%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最小的特征值；u为对应最小特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;invA=inv(A);while k=N v=invA*u;vmax,i=max(abs(v); m=v(i);u=v/ m; if abs(m-m1)ep index=1;break;end m1 m;k=k+1;endm=1/ m;六、特征值与特征根应用矩阵的特征值及特征向量在数值分析中有广泛而重要的应用，如主成分分析。因子分析、典型相关分析都必须分析计算相关矩阵的特征值和相应的特征向量。在实际问题中，工程技术中振动问题和稳定性问题以及数学中矩阵对角化和微分方程组求解问题都离不开对矩阵特征值和特征向量的求解. 由于对高阶