第二讲 平面几何中的著名定理.doc

第二讲 平面几何中的著名定理一、基础知识（一）常用定理1、（梅涅劳斯定理）设分别是的三边或其延长线上的点，且奇数个点在边的延长线，则三点共线的充要条件是：.2、（塞瓦定理）设分别是的三边上的点，则共点的充要条件是：.（角元形式的塞瓦定理）设分别是的三边上的点，则共点的充要条件是：.推论：设分别是的外接圆三段弧上的点，则共点的充要条件是：3、托勒密定理:四边形内接于圆的充要条件是：.广义托勒密定理:在凸四边形中,有,等号成立的充要条件是四边形为圆的内接四边形.直线上托勒密定理：若为一直线上依次排列的四点，则4、斯德瓦特定理:设是的边上一点,则.推论1、若,则.推论2、若为的中点,则, 即中线长公式:.推论3、若,则推论4、当平分时,则, 即角平分线公式:.其中.5、西姆松定理：从一点向的三边引垂线，点在的外接圆上的充分必要条件是：三个垂足共线6、四边形对角线互相垂直的充要条件是.（二）几个容易忽视的定理1、（完全四边形的性质）四边形的对边的延长线交于，的延长线交于，相交于，对角线分别交所在直线于.求证：(1)；(2)；（3）2、（张角定理）设顺次分别是平面内一点所引三条射线上的点，线段对于点的张角分别是，且，则三点共线的充要条件是：.推论：在定理的条件下，且，即平分时，则三点共线的充要条件是：.3、（蝴蝶定理）已知是的弦的中点，过任作两条弦,连分别交于,则.4、（九点圆定理）三角形的三条高的垂足、三条边的中点、以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是外接圆半径的一半。5、帕斯卡（Pascal）定理:圆内接六边形的边与边，边与边，边与边所在直线分别交于,则三点共线，推论1（莱莫恩线）过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和的延长线交于.求证：三点共线.推论2 帕普斯（Papus）定理：点在直线上，点在直线上，,则三点共线。5、布利安香定理：六边形为圆的外切六边形，则三线共点。推论：四边形为圆的外切四边形，则对边切点连线及两对角线共点。7、（笛沙格定理）在与中，直线和交于；直线和交于；直线和交于则三点共线的充要条件是三线共点二、典型问题选讲1、四边形ABCD的对边AB、DC的延长线交于E，BC、AD的延长线交于F，且BDEF，若AC的延长线交EF于，求的值。2、是内一点，的延长线分别交对边于,使得，,的面积分别为40，30，35。求的面积。3、已知AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别内分AC、CE，且，如果B、M、N三点共线，求k的值。 变式：在凸四边形中，和的面积之比为，点分别在上，满足，若三点共线，求的值是 。4、设是锐角的高上任一点，和的延长线分别与交于E,F.求证：.引申：在凸四边形中，和分别是边上的点，且满足，求证：三线共点.5、如图，四边形的内切圆分别切于点，求证：三线共点.6、如图，设的内切圆分别与切于点，为线段上任一点，分别交于求证：三线共点7、如图，的边BC为直径作半圆，与AB，AC分别交于点D和E.过D、E作BC的垂线，垂足分别是F，G.线段DG，EF交于点M.求证：AMBC.8、在中，点在上，点在的延长线上，且，的外接圆与的外接圆交于点.求证：.9、已知是锐角的外心，于于于与分别是的外接圆半径和内切圆半径.求证：.10、过ABC的顶点作一圆分别与边和中线交于和.求证：. 11、已知分别与相切于和，分别与相切于和，且弦与交于.求证：.12、在中，且和分别是边和上的点，满足，和分别是的外心和内心.求证：.13、在的边的延长线上分别取点，使得，其中是 的半周长，作