立体几何强化题.doc

17. （本小题满分12分）【广州】 如图4, 在直角梯形中, , 把沿对角线折起后如图5所示(点记为点), 点在平面上的正投影 落在线段上, 连接. (1) 求直线与平面所成的角的大小;(2) 求二面角的大小的余弦值. 图4 图5 19（本题满分14分）【2011佛山】如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，第19题图、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点（）求证：平面平面；（）若平面，试求的值；（）当是中点时，求二面角的余弦值18（本小题满分14分）【2011广州】一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，（1）求证：；（2）求二面角的平面角的大小AODEEA侧（左）视图A1D1AD11A11EBCOD图3答案17. （本小题满分12分） (本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)方法一:(1) 解:在图4中, , , . ,为等边三角形. . 2分 在图5中, 点为点在平面上的正投影,平面.平面,., 图4.平面, 平面,平面.（数学驿站 ）为直线与平面所成的角. 4分在Rt中, ,. ,.直线与平面所成的角为. 6分 (2) 解:取的中点, 连接,. , .平面,平面,.平面, 平面,平面.平面,.为二面角的平面角. 8分在Rt中,.在Rt中,. 在Rt中，.二面角的大小的余弦值为. 12分方法二: 解:在图4中, , , . ,为等边三角形. . 2分 在图5中, （数学驿站 ） 点为点在平面上的射影,平面.平面,., 图4.平面, 平面, 平面. 4分连接,在Rt和Rt中,RtRt.在Rt中，.在Rt中，. 6分以点为原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空 间直角坐标系,则,.,. (1), . 直线与平面所成的角为. 9分 (2) 设平面的法向量为n, 由 得 令, 得,. n为平面的一个法向量. 为平面的一个法向量, . 二面角的平面角为锐角, 二面角的平面角的余弦值为. 12分 19（本题满分14分）解：法1：（）连结，平面，平面，又，平面，又，分别是、的中点，平面，又平面，平面平面；-4分（）连结，平面，平面平面，故 -8分（）平面，平面，在等腰三角形中，点为的中点，为所求二面角的平面角， -10分点是的中点，所以在矩形中，可求得， -12分在中，由余弦定理可求得，二面角的余弦值为 -14分法2：（）同法1；（）建立如图所示的直角坐标系，则，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故 -8分（），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，当是中点时，则，二面角的余弦值为-14分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力）方法1：（1）证明：因为，所以，即 又因为，所以平面因为，所以4分（2）解：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径 设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD11A11EBCOD6分解得所以，7分过点作于点，连接，由（1）知，所以平面因为平面，所以所以为二面角的平面角9分由（1）知，平面，平面，所以，即为直角三角形在中，则 由，解得 因为13分所以所以二面角的平面角大小为14分方法2：（1）证明：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD11A11EBCOD2分解得所以，3分以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，5分AD11A11EBCODxyz因为，所以所以9分（2）解：设是平面的法向量，因为，所以即 取，则是平面的一个法向量11分由（1）知，又，所以平面所以是平面的一个法向量12分因为，所以而等于二面角的平面角，所以二面角的平面角大小为14分方法3：（1）证明：因为，所以，即又因为，所以平面因为，所以4分（2）解：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD11A11EBCOD6分解得所以，7分以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，AD