谱密度PPT.ppt

2 谱密度的物理意义 谱密度的概念来源于无线电技术 在数学上 它是平稳过程的相关函数的Fourier变换 在物理上 处理信号需要功率谱密度的概念 该平稳过程的谱密度 功率谱密度 换句话说 谱密度在物理中就是功率谱密度 工程实际中 总能量有限的信号x t 称为能量型信号 即 为该信号在R上的平均功率 简称平均功率 注 对能量型信号 其平均功率为零 称这样的信号为功率型信号 周期信号就是常见的功率信号 另一类信号x t 其能量是无限的 即 但平均功率有限 即 接下来 然后定义平稳过程的功率谱密度 并证明它等于过程的谱密度 最后讨论谱密度和互谱秘密的性质和计算 设有确定性信号x x t t R 在区间 上平方可积 则x t 的Fourier变换存在 或说x t 具有频谱 假设逆变换存在 反演公式 F 于是 信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分 上式也称为总能量的谱表达式 由于实际中很多信号 函数 的总能量是无限的 所以通常研究x t 在R上的平均功率 即 为了能利用Fourier变换给出平均功率的谱表达式 我们 构造一个截尾函数 即 记 称为确定性信号在处的功率谱密度 从而有平均功率的谱表达式 前面证得能量的谱表达式 为平稳过程的功率谱密度 并记 定义设是平稳过程 则称 称过程的平均功率 定理设是平稳过程 若RX 绝对 可积 则过程的谱密度就是功率谱密度 即 证 3 谱密度的性质和计算 定理相关函数绝对可积的平稳过程 其谱密度是非负实函数 若进一步过程是实值的 则其谱密度是非负实偶函数 证 若过程是实的 定理2 说明 第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积 以下总假设所讨论平稳过程的相关函数绝对可积 第一式说明功率谱密度曲线下的总面积 即平均功率 等于平稳过程的均方值的2 倍 或者说平稳过程的均方值等于功率谱密度关于频率 2 的积分 谱密度的计算 广义积分 可利用复变函数中的留数定理 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等 Fourier变换的性质 线性性质 位移性质 微分性质 注 Fourier逆变换显然也具有上述三条性质 例1 已知平稳过程的功率谱密度为 求其相关函数与平均功率 解 法一 因故平均功率为 例2 已知平稳过程的相关函数 求其谱密度 F 解 4 互谱密度及其性质 则称 为平稳过程和的互谱密度 其中 互谱密度没有明确的物理意义 引入它主要是为了能在 定理1设 是联合平稳的平稳过程 如果互相关函数绝对可积 则 说明 频率域上描述两个平稳过程的相关性 定理2 互谱密度的性质 3 若 是实联合平稳的平稳过程 则SXY 的实部为偶函数 虚部为奇函数 同理证明另一个 第五章马尔可夫过程 马尔可夫对数学的最大贡献是在概率论领域作出的 十九世纪后二十年 他主要是沿着切比雪夫 Chebyshev 开创的方向 致力于独立随机变量和古典极值理论的研究 从而改进和完善了大数定律和中心极限定理 二十世纪初 他的兴趣转移到相依随机变量序列的研究 上来 从而创立了以他命名的著名概率模型 马尔可夫链 PafnutyLvovichChebyshev 1821 5 16 1894 12 8 图片来源 维基百科http en wikipedia org wiki Pafnuty Chebyshev AndreyAndreyevichMarkov 1856 6 14 1922 7 20 图片来源 维基百科http en wikipedia org wiki Andrey Markov 王梓坤院士 1929年 江西吉安人 1952年大学毕业后 被分派到天津南开大学数学系任教 是一位对我国科学和教育事业作出卓越贡献的数学家和教育家 也是我国概率论研究的先驱和学术带头人之一 1948年获武汉大学数学系奖学金 1952年毕业后到南开大学任教 1955年在莫斯科大学数学力学系读研究生 1958年学成归国 在莫斯科师从现代概率论的奠基人柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 院士 他非常信赖这位由中国选派的年轻人的能力 把他选作自己的研究生 去攻概率论的中心问题随机过程理论 当时中国近代数学才刚刚起步 大学也没有概率课程 此时苏联的概率论水平已届于世界最前列 王梓坤也根本不知道什么是概率 可他的研究方向又恰恰被定为概率论 著有 概率论基础及其应用 随机过程论 生灭过程与马尔科夫链 等9部数学著作 AndreyNikolaevichKolmogorov 1903 4 25 1987 10 20 图片来源 维基百科http en wikiped