数列求和的基本方法和技巧.ppt

数列是高中代数的重要内容 又是学习高等数学的基础 在高考占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一 除了等差数列和等比数列有求和公式外 大部分数列的求和都需要一定的技巧 下面谈谈数列求和的基本方法和技巧 一 公式法 等差数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 例1 求和 例1 已知 求的前n项和 由等比数列求和公式得 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成 此时求和可采用错位相减法 既 anbn 型 等差 等比 2 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 错位相减法 设 an 的前n项和为Sn an n 2n 则Sn 例4 求数列前n项的和 2020 2 22 9 已知数列 2020 2 22 10 解 第一步 写出该数列求和的展开等式 第二步 上式左右两边乘以等比数列公比 2020 2 22 11 第三步 两式进行错位相减得 化简整理得 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 的通项之积设 设制错位 得 错位相减 再利用等比数列的求和公式得 例3 求和 2 设数列满足a1 3a2 32a3 3n 1an a N 1 求数列的通项 2 设bn 求数列的前n项和Sn 变式探究 2 设数列满足a1 3a2 32a3 3n 1an a N 1 求数列的通项 2 设bn 求数列的前n项和Sn 解析 1 a1 3a2 32a3 3n 1an 2 bn n 3n Sn 1 3 2 32 3 33 n 3n 3Sn 1 32 2 33 3 34 n 1 3n n 3n 1两式相减 得 2Sn 3 32 33 3n n 3n 1 12分 2010 四川高考 已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前n项和Sn 3 2012 江南十校 联考 在等比数列 an 中 a1 0 n N 且a3 a2 8 又a1 a5的等比中项为16 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设数列 an 的公比为q 由题意可得a3 16 a3 a2 8 则a2 8 q 2 an 2n 1 2020 2 22 23 1 2 已知数列 求该数列的前n项和 四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 cn an bn an bn 为等差或等比数列 反思与小结 要善于从通项公式中看本质 一个等差 n 一个等比 2n 另外要特别观察通项公式 如果通项公式没给出 则有时我们需求出通项公式 这样才能找规律解题 分组求和法 n 1 1 求数列 2 3 的前n项和 2 解 分组求和法 例5 求下面数列的前n项和 解 1 该数列的通项公式为 解 设 将其每一项拆开再重新组合得 分组 n个 例8 求数列 n n 1 2n 1 的前n项和 解 设 将其每一项拆开再重新组合得 2求数列1 3 4 5 6 7 7 8 9 10 前n项和Sn 例6 1 22 32 42 2n 1 2 2n 2 局部重组转化为常见数列 并项求和 练习 已知Sn 1 3 5 7 1 n 2n 1 1 求S20 S212 求Sn S20 1 3 5 7 37 39 S21 1 3 5 7 9 39 41 20 21 五 相间两项成等差等比综合 an 是等差数列 an 1 n 1 n 1 若a1 1 且an am an m n m N 则an 解 n m 1时 a2 a1 a1 2 得a1 1 a2 2 m 1时 由an am an m得an 1 an 1 即an 1 an 1 n 2 若b1 2 且bmbn bm n 则bn 解 n m 1时 b2 b1 b1 4 即b1 2 b2 4 m 1时 由bnbm bn m得bn 1 bn b1 2bn 故 bn 是首项为b1 2 公比为q 2的等比数列 bn 2 2n 1 2n 2n 练习 列项求和法 把数列的通项拆成两项之差 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和 这一求和方法称为分裂通项法 见到分式型的要往这种方法联想 求数列前n项和方法之一 裂项相消法 1 特别是对于 其中是各项均不为0的等差数列 通常用裂项相消法 即利用 其中d an 1 an 常见的拆项公式有 常见的裂项公式有 练习 求和 裂项法求和 提示 七 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和 是一个重要的方法 例7 已知数列5 55 555 5555 求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式 练习 求和Sn 1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 通项分析求和 通项 2n 1 先求通项再处理通项 例14 求 之和 解 由于 找通项及特征 解 找通项及特征 设制分组 裂项 分组 裂项求和 综合练习 解 1 证明 由题意得2bn 1 bn 1 bn 1 1 2bn 2 2 bn 1 又 a1 2b1 1 1 b1 0 b1 1 1 0 故数列 bn 1 是以1为首项 2为公比的等比数列 3