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第二十六章反比例函数 26 1反比例函数26 1 1反比例函数 课前预习1 下列函数是反比例函数的是 A y B y C y x2 2xD y 4x 82 近视眼镜的度数y 度 与镜片焦距x m 成反比例 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0 25m 则y与x的函数关系式为 A B C D 3 若反比例函数的图象经过点 1 3 则其表达式为 4 已知y是x的反比例函数 当x 1时 y 20 则当x 4时 y B C 5 课堂精讲知识点1反比例函数的定义1 定义 一般地 形如 为常数 的函数称为反比例函数 还可以写成2 反比例函数解析式的特征 1 等号左边是函数 等号右边是一个分式 分子是不为零的常数 也叫做比例系数 分母中含有自变量 且指数为1 2 比例系数 3 自变量的取值为一切非零实数 4 函数的取值是一切非零实数 例1 如果函数 0 是反比例函数 那么的值是多少 解析 由反比例函数的定义 得 解得答案 时函数为 变式拓展1 下列函数 其中是关于的反比例函数的有 知识点2根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数的关系式的一般步骤 1 审题 探究问题中的等量关系 2 确定问题中的两个变量 本别用字母表示 一般用x表示自变量 用y表示函数 3 列出反比例函数的关系式 例2 一个圆锥的体积是100cm3 求底面积S cm2 与高h cm 之间的函数关系式及自变量的取值范围 解析 本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式 掌握圆锥的体积公式是解题的关键 圆锥的体积 底面积 高 把相关数值代入整理可求出底面积S cm2 与高h cm 之间的函数关系式 进而得到自变量的取值范围 解 一个圆锥的体积是100cm3 底面积为S cm2 高为h cm Sh 100 S 100 h h表示圆锥的高 h 0 变式拓展2 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系 一个游泳池的容积为2000m3 游泳池注满水的时间t 单位 h 随注水速度u m3 h 的变化而变化 解 由题意得ut 2000 整理得t 知识点3利用待定系数法求解反比例函数的解析式 重点 利用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1 设出含有待定系数的反比例函数解析式 为常数 2 把已知一对 的值代入解析式 得到一个关于待定系数的方程 3 解这个方程求出待定系数 4 将所求的待定系数的值代回所设的函数解析式 例3 由下列条件求反比例函数的表达式 1 当 时 2 图象经过点 3 2 解析 设反比例函数的解析式为 把经过的点的坐标代入解析式 利用待定系数法求反比例函数解析式即可 解 1 设反比例函数的解析式为 当时 反比例函数解析式为 2 设反比例函数的解析式为 函数经过点P 3 2 反比例函数解析式为 解析 设经过C点的反比例函数的解析式是 设C 四边形OABC是平行四边形 BC OA BC OA A 4 0 B 3 3 点C的纵坐标是 3 3 4 0 1 C 1 3 点C在反比例函数 的图象上 解得 解析式是 例4 如图 A 4 0 B 3 3 以AO AB为边作平行四边形OABC 则经过C点的反比例函数的解析式为 解 把代入 得 反比例函数的解析式为 随堂检测1 函数是 A 一次函数B 二次函数C 反比例函数D 正比例函数 C 2 已知点 3 1 是双曲线 上一点 则下列各点中不在该图象上的是 A 9 B 3 1 C 1 3 D 6 3 已知一个矩形的面积为2 两条边的长度分别为x y 则y与x的函数关系式为 4 已知y与x成反比例 当x 2时 y 1 则y与x间的函数关系式为 B 5 2014梅州 已知反比例函数的图象经过点M 2 1 1 求该函数的表达式 2 当2 4时 求y的取值范围 直接写出结果 解 1 反比例函数的图象经过点M 2 1 2 1 2 该函数的表达式为 2 26 1 2反比例函数的图像和性质 1 课前预习1 反比例函数的大致图象是 A B C D 2 对于反比例函数y 下列说法正确的是 A 图像经过点 1 3 B 图像在第二 四象限C x 0时 y随x的增大而增大D x 0时 y随x的增大而减小 B D 3 已知反比例函数的图象在第象限内 4 反比例函数 的图象是关于对称的图形 填写轴对称或中心对称 5 函数中自变量的取值范围是 二 四 原点 中心对称 课堂精讲知识点1反比例函数图像的画法反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 第三象限或第二 第四象限 它们关于原点对称 由于反比例函数中自变量x 0 函数值y 0 所以它的图像与x轴 y轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远不与坐标轴相交 反比例函数图像的画法 描点法 1 列表 自变量的取值应以O为中心 沿O的两边取三对 或三对以上 互为相反数的数 2 描点 以表中各对对应值为坐标 画出各点 3 连线 按照从左到右的顺序连接各点并延伸 注意双曲线的两个分支是断开的 延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势 但永远不与坐标轴相交 4 在图像上注明函数的关系式 例1 试按要求填空 并作图 1 请用描点法在直角坐标系上画出的函数图象 2 点在的函数图象上吗 为什么 解析 1 分别计算 4 3 4时的函数值 然后在坐标系中描点画函数图象 2 根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断 解 1 如图 2 点在的函数图象上 变式拓展1 已知反比例函数的图象经过点 3 2 1 求的值 2 在如图所示的正方形网格中画出这个函数的图象 解 1 把点 3 2 代入 得 解得 2 由 1 知 该反比例函数为 即该反比例函数图象上点的横 纵坐标的乘积为 6 其图象如图所示 知识点2反比例函数的图像与性质反比例函数的图像是双曲线 其图像和性质如下表 例2 2014 天水 已知函数的图象如图 以下结论 在每个分支上随的增大而增大 若点A 1 a 点B 2 b 在图象上 则a b 若点P x y 在图象上 则点P1 x y 也在图象上 其中正确的个数是 A 4个B 3个C 2个D 1个 解析 利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项 根据反比例函数的图象的两个分支 例3 2014凉山州 函数y mx n与y 其中m 0 n 0 那么它们在同一坐标系中的图象可能是 A B C D 分别位于二 四象限 可得 故正确 在每个分支上随的增大而增大 正确 若点A 1 a 点B 2 b 在图象上 则a b 错误 若点P x y 在图象上 则点P1 x y 也在图象上 正确 答案 B 解析 A 函数y mx n经过第一 二 四象限 m 0 n 0 nm 0 函数y 的图象经过第二 四象限 与图示图象不符 故本选项错误 B 函数y mx n经过第一 三 四象限 m 0 n 0 nm 0 函数y 的图象经过第二 四象限 与图示图象一致 故本选项正确 C 函数y mx n经过第一 三 四象限 m 0 n 0 nm 0 函数y 的图象经过第二 四象限 与图示图象不符 故本选项错误 D 函数y mx n经过第二 三 四象限 m 0 n 0 nm 0 函数y 的图象经过第一 三象限 与图示图象不符 故本选项错误 答案 B 变式拓展2 下列关于反比例函数的三个结论 它的图象经过点 7 3 它的图象在每一个象限内 随的增大而减小 它的图象在二 四象限内 其中正确的是 1 2 4421 随堂检测1 先填表 再画出反比例函数的函数图象 3 2014 泉州 在同一平面直角坐标系中 函数y mx m与y m 0 的图象可能是 A B C D A 2 已知反比例函数的图像在第二 四象限 则a的取值范围是 A a 2B a 2C a 2D a 23 2015 温州模拟 在同一坐标系中 水平方向是轴 函数和的图象大致是 A B C D A A 4 2015 广东模拟 已知 0 则函数和的图象大致是 A B C D 5 如果反比例函数的图象过点 1 2 那么它在每个象限内y随x的增大而 6 写出一个实数的值 使得反比例函数的图象在二 四象限 A 增大 1 26 1 3反比例函数的图像和性质 2 课前预习1 已知点M 1 m 和点N 2 n 是反比例函数图象上的两点 则m与n的大小关系是 A m nB m nC m nD 以上都不对2 如图所示 点P是反比例函数图象上一点 过点P分别作轴 轴的垂线 如果构成的矩形面积是4 那么反比例函数的解析式是 A B C D A C 3 点 1 2 在函数的图象上 则 填 或 或 4 如图 点A在反比例函数的图象上 AB 轴于点B 且 AOB的面积为2 则 课堂精讲知识点1比较反比例函数的大小 4 例1 在函数的图象上有三点A 2 B 1 C 2 则 A B C D 解析 A B同在第二象限 随的增大而增大 C在第四象限 纵坐标最小 2 1 0 2 0 C在第四象限 最小 答案 B 变式拓展1 已知两点 在函数的图象上 当 0时 下列结论正确的是 A 0B 0C 0D 0 知识点2反比例函数的系数k的几何意义如图所示 经过双曲线上任意一点 分别作轴 轴的垂线PM PN 则 即过双曲线上任意一点作轴 轴的垂线 所得的矩形面积为 如图所示 过双曲线上任意一点E作EF垂直其中一标轴 垂足为F 连接EO 则 即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线 连接该点与原点 所得的三角形的面积为 例2 如图 过反比例函数图象上一点P向 轴分别作垂线段 垂足分别为M N 已知矩形PMON的面积为6 1 直接写出反比例函数解析式 2 已知Q 2 m 在此图象上 求m 解析 1 根据反比例函数比例系数k的几何意义易得 6 则反比例函数解析式为 2 根据反比例函数图象的坐标特征得到 2m 6 然后解一次方程即可 解 1 6 而 0 6 反比例函数解析式为 2 把Q 2 m 代入得 2m 6 解得m 3 变式拓展2 如图 四边形OABC是矩形 ADEF是正方形 点A D在轴的正半轴上 点C在轴的正半轴上 点F在AB上 点B E在反比例函数的图象上 OA 1 OC 6 则正方形ADEF的面积为 A 2B 4C 6D 12 B 随堂检测1 已知A 1 B 2 两点在双曲线上 且 则m的取值范围是 A m 0B m 0C m D m 2 A B两点是反比例函数的图象上关于原点对称的两点 AC 轴 BC 轴 则 ABC的面积S为 A S 1B 1 S 2C S 2D S 2经过一 三象限 点 1 2 在函数的图象上 则 比大小 D C 4 如图 点P为反比例函数的图象上 过点P分别向轴 轴引垂线 垂足分别为A B 则矩形PAOB的面积为 5 课前预习1 已知三角形的面积是定值S 则三角形的高h与底a的函数关系式是h 这时h是a的 2 有一面积为60的梯形 其上底长是下底长的 若下底长为x 高为y 则y与x的函数关系是 3 一定质量的松杆 当它的体积V 2时 它的密度 0 5 103kg 则与V的函数关系为 26 2实际问题与反比例函数 反比例函数 4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头 已知阻力和阻力臂不变 分别为1200N和0 5m 那么动力F和动力臂之间的函数关系式是 课堂精讲知识点1利用反比例函数知识解决实际问题利用反比例函数解决实际问题 我们应该抽象概括它的本质特征 将其数学化 形式化 形成数学模型 根据已知条件写出反比例函数的关系式 并能把实际问题反映在函数的图像上 结合图像和性质解决实际问题 整体流程如下 利用反比例函数解决实际问题的关键是求出函数解析式 一般地 建立反比例函数解析式有以下两种方法 1 待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数 则可设反比例函数解析式为 k 0 然后求出k的值即可 2 列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确 在这种情况下 通常是列出关于函数 y 和自变量 x 的方程 进而解出函数 便得到函数解析式 例1 2012春 漯河校级期中 某小区要种植一个面积为3500m2的矩形草坪 已知草坪的长y m 随宽x m 的变化而变化 可用函数的表达式表示为 A xy 3500B x 3500yC D 解析 本题考查根据实际问题列反比例函数关系式 因为在长方形中长 面积 宽 根据此可列出函数式 已知草坪的长y m 随宽x m 的变化而变化 答案 C 例2 某村利用秋冬季节兴修水利 计划请运输公司用90 150天 含90与150天 完成总量300万米3的土石方运送 设运输公司完成任务所需的时间为y 单位 天 平均每天运输土石方量为x 单位 万米3 请写出y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围 解析 本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系 然后利用待定系数法求出它们的关系式 利用 每天的工作量 天数 土石方总量 可以得到两个变量之间的函数关系 解 由题意得 把 90代入 得 把 150代入 得 所以自变量的取值范围为 2 答案 2 变式拓展 1 如果等腰三角形的底边长为 底边上的高为 则它的面积为定值时 与的函数关系为 A B C D 2 某种大米单价是y元 千克 若购买x千克花费了2 2元 则y与x的表达式是 C 知识点2物理学中的反比例函数问题在与数学联系密切的物理中 存在大量的成反比例函数关系的量 凡是成反比例关系的两个物理量 都可以用反比例函数解决 特别地 在求反比例函数的关系式时 要注意自变量的取值范围 特别要考虑实际情况 例2 已知 力F所做的功是15焦耳 则力F与物体在力的方向上通过的距离S之间的函数关系图像大致是图中的 解析 F与S之间的函数关系式为 是反比例函数 又知F和S都是正数 故图像是双曲线 且在第一象限 故选B 答案 B 变式拓展3 某闭合电路中 电源的电压为定值 电流 A 与电阻 成反比例 图表示的是该电路中电流与电阻之间函数关系的图象 则用电阻表示电流的函数解析式为 A B C D C 随堂检测1 用规格为50cm 50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块 如果改用规格为cm cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅 那么与之间的关系为 A B C D 2 某气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 气球内气体的气压p kPa 是气体体积V m3 的反比例函数 如图所示 则用气体体积V表示气压p的函数解析式为 A B C D A C 3 蓄电池电压为定值 使用此电源时 电流 安 与电阻 欧 之间关系图象如图所示 若点在图象上 则与 0 的函数关系式是 4 写出函数解析式表示下列关系 并指出它们各是什么函数 1 体积是常数时 圆柱的底面积与高的关系 2 柳树乡共有耕地面积 单位 该乡人均耕地面积 单位 人 与全乡总人口的关系 解 1 由题意可得 2 由题意可得 均为反比例函数 拓展反比例函数与一次函数的综合应用 课前预习1 在同一坐标系中 水平方向是轴 函数和的图象大致是 A B C D 2 已知直线与反比例函数的图象的一个交点为P a 2 则a的值为 A 2B C 2D A A 3 在同一平面直角坐标系中 若一次函数的图象与反比例函数的图象没有公共点 则的值可以是 2 课堂精讲知识点反比例函数与一次函数的综合应用判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为 当与同号时 正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点 当与异号时 正比例函比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点 例1 在同一直角坐标系中 一次函数与反比例函数 的图象大致是 例2 如图 Rt ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点 AB 轴于B且 1 求这两个函数的解析式 2 A C的坐标分别为 1 3 和 3 1 求 AOC的面积 解析 1 根据反比例函数的系数的几何意义得到 再根据反比例函数的性质可得 3 然后分别代入反比例函数与一次函数的解析式 即可确定两函数的解析式 2 设直线与轴交于点D 则D点坐标为 2 0 然后利用进行计算 解 1 而 0 3 反比例函数的解析式为 一次函数的解析式为 2 设直线与轴交于点D 则D点坐标为 2 0 如图 2 3 2 1 4 变式拓展1 函数与 在同一坐标系中的图象的位置可能是 A B C D B 2 如图 一次函数y kx b的图象与反比例函数的图象相交于A B两点 1 根据图象 求出两函数解析式 2 说出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围 解析 1 先把B 4 3 代入得到m的值 确定反比例函数解析式 再确定A点坐标 然后利用待定系数法确定一次函数的解析式 2 观察函数图象得到当 6 x 0或x 4时 一次函数图象都在反比例函数图象上方 即一次函数值大于反比例函数值 解 1 把B 4 3 代入得m 3 4 12 所以反比例函数的解析式为 把x 6代入得y 2 所以A点坐标为 6 2 把A 6 2 和B 4 3 代入y kx b得 6a b 2 4a b 3 解得a b 1 所以一次函数的解析式为y x 1 2 观察函数图象得到当 6 x 0或x 4时 一次函数图象都在反比例函数图象上方 即一次函数值大于反比例函数值 所以当 6 x 0或x 4时 一次函数值大于反比例函数值 随堂检测1 如图 在平面直角坐标系中 反