《高等数学A(三)》强化训练题一及解答.pdf

高等数学 高等数学 A 三 强化训练题一 三 强化训练题一 一一 单项选择题单项选择题 1 函数在点处具有两个偏导数 zf x y 00 yx 0000 xy fxyfxy是函数存在 全微分的 A 充分条件 B 充要条件 C 必要条件 D 既不充分也不必要 2 设 则 23 ln 1 uxy z 1 1 1 xyz uuu A B C 36 2 1 D 2 3 3 极限 42 2 0 0 lim yx xy y x A B 1 C 0 2 1 D 不存在 4 设在单连通区域上具有连续的一阶偏导数 则表达式 P x yQ x yDddP xQ y 为某函数的全微分的充要条件是 A 0 PQ xy B 0 PQ xy C 0 QP xy D 0 QP xy 5 锥面 22 zxyz 2 则曲面积分dz S A B 8 3 C 8 2 3 D 5 二二 填空题填空题 6 设2 xabyab 其中1 2 abab 当 xy时 7 平面过点 1 2 1 与轴 则的方程为 Oy 1 22 x fxyxy y 则 f x y 8 设 9 函数 2 zxyu在点处的方向导数的最大值等于 10 设平面区域 1 1 1 22 22 1 0 xy Da ab 0 b则积分d d的值是 三三 计算题计算题 55 D axbycx y 2 z x y x zfxy y 其中 f u v11 设具有连续二阶偏导数 求 方程确定函数12 333 30 xyzxyz zf x y 求d z 2222 22 22 1 sxy in 0 0 xy xyzf x y xy 13 0 1 f x y在处是否连续 2 是否存在 14 0 0 0 xy ff 0 0 0 2 d d D yxx y 其中 克斯公式计算曲线积分 d 11 01 x D y 15 利用斯托 222222 d d Iyzxzxyxy z 其中是用平面 3 2 xyz 截立方体 01 01 01 x y zxyz 方向 如下图 a b 的表面所得 的截痕 若从轴的正向看去 取逆时针 Ox 2 x O y z y 1 1 1 x O 1 1 2 1 2 1 2 1 yx 3 2 xy a 16 在变力 图 图 b 2 1 yxy Fij 1 yaxx 作用下 一质点沿曲线从点移动 到点 0 0 1 0 试确定参数a 使变力F作的功最小 17 设平行四边形的对角线b其中2 34 c cab da 1 2 abab 求平 边形的积 行四面 1xyz 的一张切平面 使其在三个坐标轴上的截距之积为最大 在 18 求曲面 Q x yxOy平面上具有一阶连续偏导数 曲线积分 19 设函数 2d d L xy xQ x yy 与路径无关 并且对任意 恒有t 1 1 0 0 0 0 2d d2d d tt xy xQ x yyxy xQ x yy 求 20 计算三重积分 Q x y dxzv 中为锥面 22 zxy 与球面 22 1zx y所围成的闭区域 四四 证明题证明题 21 设 其 f x在区间上连续 证明 a b 2 11 d d bb aa f xxfxx baba 3 即要证函数在一个区间上的平均值不大于均方根 4 高等数学训练解答 高等数学训练解答 A 三 强化题一 三 强化题一 一一 单项选择题单项选择题 1 选 C 理由理由 函数在点处存在全微分的两个必要条件 在点处具有两个偏导数 zf x y 00 yx zf x y 00 yx 0000 xy fxyfxy 1 2 在点处连续 函数在点处存在全微分的一个充分条件 的两个偏导函数 zf x y 00 yx zf x y 00 yx zf x y xy fx yfx y在点处连续 2 选 D 理由理由 因为 00 yx 2 232323 123 111 xyz yz uuu xyzxyzxyz 所以 2 23 123 1 xyz yz uuu xyz 故 1 1 1 63 2 xyz uuu 3 选 D 理由理由 取 4 x y沿抛物线 2 0 xkyk 趋向于点则有 0 0 2 2222 24242242 00 0 0 limlimlim 1 xy x ky y y xyxykyy xyxykyyk k 限与常数有关 所以极限k 2 24 0 0 lim x y xy 由于极 xy 不存在 4 选 D 理由理由 由 5 PQ yx 得 0 QP xy 5 选 B 理由理由 锥面 22 2 zxyz 在xOy坐标面上的投影区域为 则曲面积分 22 2 xy Dxy 2 2 22 d1 xy D zz z Sxyx y xy d d 22 22 2222 1 d d xy D xy xyx xyxy y 22 2d xy D dxyx y 2d xy D r r rd 2 2 2 00 2ddrr 2 3 0 1 2 2 3 r 8 3 填空题填空题 理由理由 因为 二二 6 填2 xy 所以0 x y 即 22 2 2 ab 22 2 0 baa a a b b ab b a a b b 所以 6 22 21 2 20 0 故 2 7 填 理由理由的方程为 其中不同时为零 代入 则 0 xz 设平面 0 AxCz A C 将点 得 1 2 1 0 AC AC 所以平面的方程为 0 xz 2 1 1 xy y 8 填 xyu x v y 理由理由 令则 1 1 uv x v u y v 故 22 2 1 111 uvuuv f u v vvv 所以 2 1 1 xy f x y y 7 6 9 填 理由理由 函数在点处的方向导数的最大值等于函数在该点处的梯度向量的模 由于 zxyu 2 1 1 1 22 grad 2 uuu uy zxyz xy xyz 所以 22 1 1 1 1 1 1 grad 2 1 2 1 uy zxyz xy 则所求的最大值为 222 1 2 16 填 理由理由 因为积分区域关于 abc 10 Dx轴 y轴都对称 则由二重分的对称性得 D c 三三 计算题计算题 设 积 555 d dd dd dd d DDD axbycx yaxx ybx ycx y 00 abcabab 11 x zfxy y 其中 f u v具有连续二阶偏导数 求 2 z x y x uxy v y 解解 设则 所以 zf u v 11 uvu zfufv v fyfyff xuxvxyy 2 222 11 uuuuvvvuvv zzxx fy fxfffxf x yyxyyyy 23 1 uuuv x vv fxyfff yy 8 12 方程定函数 333 30 xyzxyz zf x y 求d z 确 解解 设则 所以由隐函数求导法则得 333 3 F x y zxyzxyz 2 33 x Fxy z 2 33 y Fyx z33 z Fzxy 2 2 2 x Fzyzx z xF zxy 2 2 y z F zxzy yFzxy 则 dd zz zxdy xy 22 22 dd yzxxzy xy zxyzxy 2222 22 22 1 sin 0 0 xyxy xyzf x y xy 0 13 f x y 1 在处是否连续 2 是否存在 解解 1 因为 0 0 0 0 0 0 y ff x 222 22000 00 11 lim lim sinlimsin0 0 0 xx yy f x yxyf xy 所以在处连续 2 因为 yxf 0 0 2 2 2000 1 sin0 0 0 0 0 1 limlimlimsin0 xxx x xfxf x xx x 所以 0 0 0 x f 9 类似可求得 0 0 0 y f 14 2 d d D yx 1 D x y 其中 1 解解 01 x y 11 222 d dd dd d DDD D yxx yyxx yyxx y d 11 22 d d d DD D yxx yxyx y 2 2 111 22 110 d dd d x x xyxyxxy y 2 yx y x O 1 1 1 1 D 11 15 15 利用斯托克斯公式计算曲线积分 222222 d d dIyzxzxyxy z 其中是用平面 3 2 xyz 截立方体 01 01 01 x y zxyz 方向 如下图 a b 的表面所得 的截痕 若从轴的正向看去 取逆时针 Ox x O y z 1 1 1 y x O 1 1 2 1 2 1 2 1 yx 3 2 xy 图 a 图 b 解解 取为平面 2 3 zyx的上侧被所围成的部分 的单位法向量 1 1 1 1 3 n 则 1 coscoscos 3 10 由斯托克斯公式 有 222222 4 d 111 333 d 3 ISxS yzzxxy yz xyz 43 d2 33d d6 23 xy xy D Sx y xy D为在 xOy为 xy D平面上的投影区域 如图 b xy 的面积 显然 其中 1113 1 2 2224 xy 故 9 2 I 在变力 2 yx 16 1y Fij 1 yaxx 作沿曲线用下 一质点从点移动 到点 0 0 1 0 试确定参数a 使变力F作的功最小 解解 因为 所以 dy 2 d 1 Wyxy ij 2 dd 1 d d xyyxxyy ij 2 d 1 d LL WWyxxy 1 2 22 0 1 1 1 1 2 da xxxaxxaxx 2 1 306 aa 1 156 a W 得 5 2 a 令0 W 得惟一驻点 又 5 0 2 W 故当 2 5 a时 取极小值 即取最小值 W 11 2 5 a时 变力F所作的功最小 角线 所以当 17 设平行四边形的对2 34 ab dab 其中c c1 2 abab 求平 行四边形的面积 解解 设平行四边形的两邻边分别为 因为 从而 m n cmn dmn 11 42 2 22 mcdaba b 11 26 3 22 ncdaba b 所以平行四边形的面积为 55sin 5 1 2 110 S mnaba ba b 1xyz 18 求曲面的一张切平面 解解 设 使其在三个坐标轴上的截距之积为最大 F x y zx 1 yz 则曲面在点处的法向量为 zyx 111 222 xyz F F F xyz n 所以切平面方程为 111 XxYyZz xyz 0 即 1 XYZ xyz xyz x y z 切平面在三坐标轴上的截距分别为 xyzzyxf 在条件1xyz 根据题意 即要求下的极值 为此朗日函数 作拉格 12 1 F x y zxyzxyz 令 0 1 2 0 2 2 0 3 2 1 4 x y z Fyz x Fxz y Fxy z xyz 由 1 2 3 解得 zyx 代入 4 得 9 1 zyx 1 1 1 9 9 9 由于最大值存在 且驻点唯一 所以曲面在点的切平面在三坐标轴上的截距乘 积为最大 平面方程为 该切 1 3 xyz 19 设函数在 Q x yxOy平面上具有一阶连续偏导数 曲线积分 2d d L xy xQ x yy 与路径无关 并且对任意 恒有 t 1 1 0 0 0 0 2d d2d d tt xy xQ x yyxy xQ x yy 求 解解 由曲线积分与路径无关的条件知 Q x y 2 2 Qxy x xy 13 于是 其中为待定函数 2 Q x yxC y C y 对 1 2d 0 0 d t xy xQ 1 t 与 0 0 2d dxy xQ x yy 1 t 得 x yy分 别 选 取 积 分 路 径 0 0 1tt 1 0 0 与 0 0 1 11 22 0 0 00 2 d t d d dxy xQ x yytC yyt C yy t 1 2 0 0 00 2d d 1 d d tt xy xQ x yyC yytC yy 两边对 求导 并整理得 由题设知 1 2 00 d d t tC yytC yy t 21 C tt 从而 21 C yy 所以 2 21 Q x yxy dxzv 20 计算三重积分 其中为锥面 22 zxy 与球面 22 1zx y所围成的闭区域 解解 关于 yOz面对称 而函数x是关于x的奇函数 故 由于 d0 x v 又在球面坐标系下可表示为 0 1 0rr 02 4 所以 2 1 3 4 000 ddddsincos dxzvz vrr 14 4 0 1 2 sincos d 4 4 0 sin dsin 2 8 四四 证明题证明题 21 设 f x在区间上连续 证明 a b 2 11 bb d d aa f xxfxx baba 于均方根 证明一证明一 上连续 故在矩形区域 上连续 且 即要证函数在一个区间上的平均值不大 a b 2 yfxfyxF xf在 Daxb ayb 2 d0 D f xf y 显然 D 222 d d2 d d DDD f xf yfxf x f yfy 22 d d2 d d d d bbbbbb aaaaaa fxx yf x f yx yfyx y 2 2 2 d2 d0 bb aa bafxxf xx 所以 2 2