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等价转化思想及其应用 上海市香山中学 邓武红 （200135）等价转化是一种重要的数学思想，近几年来高考试题都要求学生有很强的等价转化意识，转化思想的应用在试题中也处处可见。数学问题的求解过程事实上是一个不断转化的过 程，这种过程体现了“把未知解法的问题化归到在已有知识范围内可解”的求解策略。化归转化分等价转化与非等价转化两种情况。当转化过程中的前因后果是既充分又必要时，则称这种转化为等价转化。 （一）等价转化所遵循的基本原则1、熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。例1（1）求适合等式的的一切值 （2）求展开式中的常数项略解（1） 原式 （）（2） 原问题求展开式中含的系数 常数项=例2（1）若对任意实数，方程至多有一个是实数根，求实数的取值范围（2）马路上有编号1，2，38，9的九只路灯。为了节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻两只或三只，也不能关掉两端路灯，求满足条件的关灯方法略解（1）原问题曲线与至多有一个交点函数有反函数函数在单调（2）原问题六个0中间插入三块隔板且不在两端所求方法（种） 2、简单化原则：把复杂的转化为简单的，化难为易。例3 证明不等式：略解 原不等式 （）而 原不等式得证例4 设为实数，试求出关于的方程的实数根的范围略解 原问题求关于的方程有实数解时的取值范围 3、直观化原则：把抽象的转化为具体的，把数的转化为形的，以充分利用形的直观性揭示数学问题的本质属性。例5 解不等式略解 令， 作图像如右原不等式 例6 对任何实数，方程恒有实数解。求的取值范围略解 原问题对任何实数，过定点P (1, )的直线系与曲线恒有公共点P (1, )在区域上（如图）8 (二) 等价转化的主要途径、方法1、从问题的形式、特征选择转化途径：所谓数学问题的形式是指问题的条件和结论的表象特征，从而数学问题的形式必是数学问题内涵信息的载体，一个数学问题的形式往往隐含着如何从条件通向结论的启示，抓住问题的形式、特征进行分析，往往得到启迪而有助于选择转化途径。例7 （1）证明方程对任何实数a都有两个实根，且一根大于m，另一根小于m（2）已知两等差数列和，它们的前n项和之比为，求略解 （1）令,则原问题方程恒有一正根，一负根 这显然成立（2）原问题求 有： 2、从命题的等价性选择转化途径：对于一个难以入手的命题，可以运用充要条件的思想，把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路，因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是转化顺利的前提，同时也是解法灵活的基础。例8 已知椭圆 （），A、B是椭圆上的两点，且线段AB的垂直平分线与轴相交于点，求证：略解 设AB中点为M，转化1 原问题 转化2 原问题 （下略）转化3 设则原问题 （下略） 3、从不同的数学结构的关系映射选择转化途径：当一个数学问题在原来的结构体系中直接求解较为困难时，可以通过数学变换，把它等价映射到另一结构体系中去，使问题获解。例9 设单位圆内任意两点，为以线段AB为直径的圆上任意一点。求证：略解 设A、B、P对应的复数分别为则原命题若，且，求证：则 例10 求同时满足下列两个条件的所有复数z（1）是实数，且（2）z的实部和虚部都是整数略解 设 则原问题实系数方程的复数解其实部、虚部均为整数 （三）几种常见的等价转化思路1、利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转化例11（1）求函数的反函数定义域（2）求的值略解（1）， 令A(-1)，B(1)求的反函数定义域的值域求分AB为定比的分点的范围（2）注意到所求式与余弦定理类似由原式=2 构设函数、方程及不等式进行等价转化例12 设函数定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图像上的不动点。若函数图像上有两个关于原点对称的不动点，求、应满足的条件。略解 设为不动点 原问题方程 （）有两个互为相反数的实数根由（） （） 例13 设，的定义域为，其值域为（1） 证明：（2） 证明：为上的减函数（3） 求的取值范围略解 （1）（2）略。下面证（3）在 （）且值域为原问题方程在上有两相异实根即：在上有两相异实根 3引入相关参数进行等价转化：在有关探求参数的取值范围问题中，当直接构设以参数为元的不等式较为困难时，常可引入的相关系数，借助把问题进行等价转化例14 已知椭圆C： （），其长轴两端点为A、，如果C上存在一点Q，使。求的取值范围略解 设 （为与相关的参数）由对称性，不妨设 （B） , (A)解（B）(A) （四）等价转化与非等价转化把问题A转化为问题B，若B只是A的必要非充分条件或充分非必要条件，则这种转化就是非等价转化。前者可能扩大解集，后者则可能缩小解集。某些问题，或者根本不存在等价交换，或者按等价转化的思路展开求解较为困难。这时，就需要运用等价转化的观点，对不等价转化产生的后果进行控制，以保持问题的解集不变。例15 已知为公差不为零的等差数列，为其前n项和，是否存在这样的，使对一切，恒为一常数。若存在，则求出的通项表达式；若不存在，则说明理由。略解 满足题意的存在 （） 此时， （）存在， （）说明：第（）步是非等价转化（必要条件），从而需要第（）步来验证充分性例16 已知的最大