《高等代数》课程简介.doc

高等代数课程简介一、课程概述高等代数是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。高等代数是中学代数的继续和提高。通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。二、本课程的教学目的及要求1、使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。2、使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。3、使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。4、逐步培养学生的对知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例（正例和反例）的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。5、使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。6、根据教学的实际内容的需要，对课程标准中所列各章内容，分别提出了具体的教学内容与内容要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。7、通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习作课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题 解决问题的能力。8、本课程主要内容是多项式理论和线性代数理论初步。前者以数域上的一元多项式理论的因式分解为中心内容，线性代数主要讲授线性方程组的理论。为了体现对本课程少而精的要求，教学中着重于基础知识，基本理论的讲授和基本技能的培养，兼顾内容上的条理性和系统性。三、高等代数的教学方法高等代数是现代数学的基础，这门学科的特点是具有严谨的逻辑体系，理论性强，具有深刻的思想内涵，充满了自然辩证法。那么如何将它自身的特点更好体现在教学中，达到开设这门课程的真正目的，就需要做到以下几点：（一）从宏观上把握高等代数内容的统一性高等代数是数学专业的一门重要基础课，它不仅是现代数学的基础，也是中学代数的延拓，从中学代数延拓到高等代数有一座过渡的“桥梁”，这座“桥梁”便是矩阵，同时矩阵作为高等代数的核心，贯穿于该课程整个内容的始终。抓住了这一点才体现了课程的整体性，而不是一个个互不相连的独立的分支。线性方程组可用它的增广矩阵表示。在向量空间里，取定一个基后，维向量可由它的坐标组成的行矩阵或列矩阵表示，向量空间的线性映射，线性变换，线性函数，双线性函数，二次型可用矩阵表示。在欧氏空间里，取定一个标准正交基后，内积可用其度量矩阵表示，正交变换可用正交矩阵表示，对称变换可用对称矩阵表示。通过矩阵表示，大部分线性代数的问题都可归结为矩阵问题。利用矩阵的初等变换可以讨论并求解线性方程组，可以讨论向量组的线性相关性，可以求已知向量在线性变换和基变换下的像，可以研究线性变换的运算。利用矩阵的特性可以确定它所对应的线性变换的特征。例如，由线性变换在任意标准正交基下的矩阵是正交矩阵就可知道该线性变换是正交变换。有限维向量空间的维数与矩阵的秩联系起来，向量空间上全体线性变换的集合与数域上全体阶阶矩阵的集合之间可以建立一个同构映射，从而有限维向量空间的一个线性变换在同构意义下实际上就是一个矩阵。可将阶行列式的定义看成是数域上全体矩阵集合到数域上的一个映射。线性方程组可表示为矩阵方程，因此解线性方程组可归结为解矩阵方程。平面二次曲线的一般方程可用矩阵方程来表示，且可通过研究其系数做成的阶实对称矩阵的合同分类性质来讨论该二次曲线的类型；平面坐标的旋转可用一个正交矩阵来刻划。（二）深入挖掘知识之间的内在联系高等代数是一门结构化很强的课程，应深入挖掘知识之间的内在联系，揭示知识结构的“本来面目”，以便从宏观上了解它的思想和方法。例如，一个线性方程组的解的情况是由它的每个方程的系数及常数项决定的，向量的线性表出是方程组的向量形式。另外方程组还可以写成矩阵的形式：。方程组理论由方程组、向量及矩阵三块内容所构成。一个方程组的解的结构是与它的导出组密不可分的，导出组是一个齐次线性方程组，而它的解的存在性实质上是它的系数矩阵的列向量的线性相关问题，而它的解的个数是由列向量的线性无关的向量个数所制约，因此向量线性相关性的性质实质上反映了方程组的特性，矩阵的秩是由向量组线性无关的向量个数所定义，这样又将矩阵与方程组联系起来。由于矩阵的行秩与列秩相等，又具有自己的特性，所以在方程组理论中起主导作用的是向量线性相关性问题，这样不仅从结构及其联系清楚地认识它，而且也抓住了它的主要矛盾，在解决问题时，就能有的放矢地将方程组、向量、矩阵三个结构知识有机的交融，灵活地处理问题，抓住实质，不被形式所干扰。 在高等代数教学过程中，教师应结合具体内容，向学生指明从初等代数到高等代数的过渡，是从处理个别的具体问题转变到处理一般的抽象问题的质的飞跃。这种飞跃标志着学生开始进入学习知识、发展思维、提高技能与技巧，充分发挥学习潜能的阶段。教师要引导和鼓励学生尽快地冲破旧有的学习模式和习惯，以适应高等代数的教学过程。学生对课本的内容结构，以及严格的、形式的方法表达的定理等，理解起来比较费力，这是正常的，学生认识上的困难并不是坏事，因为教学是在尽可能大的难度上进行。这恰恰给教师提供了指导学生掌握新知识的活动空间。（三）体现数学思想方法所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指在数学地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想和数学方法是紧密联系的，一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。有时笼统称数学思想方法，而不加区分。 作为教师除了完成知识教学之外，要应承担起提高学生素质、培养能力的重托，事实证明，一个人数学学习的优劣和数学才能的强弱不仅在于数学知识积累的多少，而且也在于数学思想和方法的素养是否达到一定程度，加强数学思想方法的教学是至关重要的，数学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学和社会领域的渗透与移植。数学创造首先是数学思想的突破，新的数学思想带来新的数学创造。正如日本数学家米山国藏所指出的那样，学生毕业后，很多数学知识被遗忘，“唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、思想方法，在随时发挥作用，使他们受益终生”。其实，在当今和未来社会的许多行业中真正直接用到学校学的数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受数学思想的熏陶与启迪，以此去解决所面临的实际问题。德国学者冯劳厄对教育的作用有过一句耐人寻味的精辟论述：“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”。高等代数贯穿始终的主要思想方法，就是初等变换与化归及转化的思想方法，这在各章节中都体现的很充分，教学中应注意渗透。（四）加强严格的逻辑推理方法的培养 高等代数是一门知识结构严谨，逻辑关系极强的重要的基础课程，其中的各类问题是先给出确切的定义，然后从定义出发，利用严密的逻辑推理方法，依次推出性质、引理、定理、推论，直至建立本类问题的整套理论体系为止。例如，关于多项式的因式分解，中学代数只介绍了一些具体的分解方法，对于所谓“不能再分”，“分解是否唯一”等问题都没有进行讨论，而在高等代数中通过引进不可约多项式定义，解释了“不可再分”的确切含义。通过唯一因式分解定理，解释了因式分解的“可分性”与“唯一性”。通过典型分解式，分离重因式理论及复数域，实数域及有理数域中不可约多项式的状况给因式分解以理论性指导。又如，对于线性方程组，中学代数只介绍了二元一次方程组，三元一次方程组的解法，对方程组有解无解，解的个数问题都没有论及，而在高等代数中，首先定义