第十一章 数系的扩充与复数.doc

第十一章 数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.2. 分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2则，而，则不一定成立，如时；3，而则不一定成立；4若不一定能推出；5若，则=，但若则上式不一定成立.三、经典例题导讲例1两个共扼复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数 错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或当时，为纯虚数当时，因此应选D. 注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质. 例2判断下列命题是否正确 (1)若, 则 (2)若且，则 (3)若，则 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解：(1)错，反例设则 (2)错，反例设，满足，但不能比较大小. (3)错，故，都是虚数，不能比较大小.例3实数分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数. 解：实部，虚部.（1）当 时，是实数；（2）当 ，且 时，是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数 例4 设，当取何值时， (1) ; (2).分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：当 时 (2)当 可得： 或 ，即 时.例5是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数分析 本题起步的关键在于对条件的处理等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不为零），得即向量与向量的夹角为，在图中，又，设，在OPQ中，由余弦定理OPQ为直角三角形，四、典型习题导练1. 设复数z满足关系，那么z等于（ ）A B C D2.复数系方程有实数根，则这个实数是.3.实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限4.已知且求复数5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值 11.2 复数的运算 一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.2. 重要结论（1） 对复数z 、和自然数m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)设，二、疑难知识导析1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当时，不总是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、经典例题导讲例1 满足条件的点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆错解：选A或B.错因：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数 动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为， 动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.例2 求值：错解：原式= 错因：上面的解答错在没有真正理解的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=评注：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论. 例3已知，求的值. 分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. 原式=评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例4 （06年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一： ， . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. 解法二：设 ， 得 ， 以下解法同解法一. 例5解析 四、典型习题导练1（06年四川卷）非