哥德巴赫猜想的证明 申喜廷.doc

（本论文发表于国家级期刊中国科教创新导刊2013年3月21日第3期总第659期）哥德巴赫猜想的证明申喜廷山西省左权县 E-mail: 摘要 自然数数列中数两两相加之和为=3, 4, 和=7, 8,. 从大于2的带余数数列中删去素数的大于1的倍数后的序列为, =8, 10, 12, =7, 8, . 从与各素数模的最小正剩余类的同余式中各取一个组合联立的无数个同余方程组的正整数解的集合是大于2的序列素数；从与各素数模的最小正剩余类的两两相加之和的同余式中各取一个组合联立的无数个同余方程组的正整数解的集合是大于6的偶数数列. 证明了哥德巴赫猜想.关键词 自然数数列，带余数自然数数列，模的最小正剩余类自然数数列，两两相加之和的性质，同余方程组. 引言 “哥德巴赫猜想” 于1742年提出. 其常见的陈述为，把命题“任一充分大的偶数皆可表示为一个素因子个数不超过个的数与另一个素因子个数不超过个的数之和”记作“”. 在人们努力下，已证明了从“9+9”，“7+7”， ，“2+3”，“1+3”，推进到1966年陈景润的“1+2”成立，距“1+1”只有一步之遥. 本文根据自然数数列中的数两两相加之和的性质，用解同余方程组的方法来证明之.1 自然数数列中的数两两相加之和的性质设自然数数列1, 2, 的通项式为 （1, 2, ），那么=1, 2, .自然数数列中的数两两相加之和记作,=因自然数数列中的数两两不同，所以其中的数两两相加无同数相加，皆异数相加.设大于2 的自然数数列3, 4, 的通项式为 （1, 2, ），即3，4， 中的数两两相加之和记作=定理 1.1 顺序排列为大于2 的自然数数列. 即=3, 4，.证: 设任一自然数分别与自然数， 两两相加为， = ，,当（即为最小自然数）时， ，是大于2 的自然数数列. 即顺序排列为大于2 的自然数数列.证毕定理 1.2 顺序排列为大于6的自然数数列. 即=7, 8, .证明方法类似定理 1.1 的方法，略.2 带余数自然数数列中的数两两相加之和的性质设 , 为全体自然数. 任一自然数被除后所得的最小正余数是且仅是1,这个数中的 1 个. 可用带余数除法唯一表示为= , .所有自然数皆这样唯一表示后的自然数数列叫作作除数时的带余数自然数数列，记作,可表示为下式 = .同理,作除数时大于2的的带余数自然数数列记作，余数记作，那么= .上式中，这两个余数类，当时无，当时有，这里特将其记作“”，或 ，当时，2 3 4 , ，=.当时，1 2 3 3, 3+1, 3+2, 3+3, 23+1, 23+2, 23+3, =.当时， 1 2 3 3， .从中删去的大于1的倍数（即2, 3，）后的序列记作，余数记作. 当 时有余数, 当 时无余数类，那么=，.=，.当时， 2 3 4 =2+1, 22+1, 32+1, ， 2+1, .当时， 1 2 3 =3, 3+1,3+2，23+1，23+2，,3+1，3+2，=. 1 2 当时， 1 2 3 =3,2, 1 2 , ,. 数列中和合并为第一段，其余的各重复各自为一段，用 表示，1, 2, 为段序，当 时， ，故.显见, 当时， 是大于 2 的奇数数列. 当3 时, 是由无数个互不连续的有限自然数数列的排列，即无数个段的排列.中的数两两相加之和记作定理2.1 当 =2 时, 排列为大于 6 的偶数数列. 证: 序列 是大于2的奇数数列. 设任意大于2的两不同奇数为， （），那么=+., 是大于2的自然数数列，则为大于3的自然数数列, 所以是大于6的偶数数列.证毕定理 2.2 当 时, 排列为大于6的自然数数列. 证: 当 时， ， 当 时, 序列 为3, 3+1, 3+2，23+1，23+2， 1 2 2序列第1段 3, 3+1, 3+2 是有限自然数数列，其两两相加之和记作23+1, 23+2，23+3,是3项自然数数列. 从第1段和其它任一段各任取1项的两两相加之和记作 （）=是3+1项自然数数列. 将数列和及其首, 末项列入表1.表1顺序两两相加之和数列首项末项1122=23+1, 23+2, 23+323+123+321,22=33+1, 33+2,43, 43+133+143+131,3=43+1, 43+2, 53, 53+143+153+121,=3(3(+2)+1+11,+12=表1 中, 第1数列的首项 23+1=7. 第1数列的末项23+3与第2数列的首项 33+1为两连续自然数；以下各数列：上数列末项等于下数列首项，所有数列连续为大于6的自然数数列. 当 3 时, 为 1 2 3 3,2, , , . 1 2 用上面当2时的方法将中的数两两相加之和数列列入表2.表2顺序两 两 相 加 之 和 数 列首项末项112721，22231，321, 2+11，+1比较上表中上下相邻两数列的首项和末项: 数列1的首项为7;数列1的末项数列2的首项=; 数列2的末项数列3的首项=; 数列的末项数列+1的首项=. , , 故所有数列连续为大于6的自然数数列. 证毕3 模的最小正剩余自然数数列中的数两两相加之和的性质显见, 任一自然数. 将每个自然数皆用模的最小正剩余来表示的全体自然数数列叫作模的最小正剩余自然数数列. 可表示为下式， , . 同理, 数列 . 同理，序列 .当2 时， 当 3 时, 当 3 时, .上式中, 当时无和，有；当时有和，无.显见, , 和等价；,和等价; 和等价.2 中数两两相加之和记作 或. 由定理1. 1知 排列为 3，4，, 那么当 2 时, ；当 3 时, ；当 3 时, ； 由定理1. 2知 排列为大于6的自然数数列，即 = 7, 8, . 那么当 2 时, ；当 3 时, ；当 4 时, ；当 5 时, ；当 6 时, ； 当 7 时, ；当 7 时, 由定理2. 1知, 当 2 时, 排列为大于7的偶数数列，即 = 8, 10, .由定理2. 2知, 当 2 时, 排列为大6的自然数数列，即 7, 8, . 那么当 2 时 ；当 3 时, ；当 4 时, ；当 5 时, ；当 6 时, ；当 7 时, ；当7 时, .(上面式子中示例:或为剩余类 当时或当时无，当或当时有.) 4 任意 的偶数皆可用两素数相加之和来表示初等数论中的算术基本定理是：在不计素因子次序的意义下，整数一定可唯一表示为素因子的乘积.那么，若是合数，则必有素因子；若合数(是素数)，则必有素因子；若合数，则必有素因子 . 由此推出: 在大于1的自然数数列2，3，4， 中，依次删去小于的全部素数的大于1的倍数 (其中删去了小于的全部合数)后，在剩下的数列中，小于的数皆素数. 即：在大于1的自然数数列中：删去2的大于1的倍数后，在剩下的序列中，小于的数2, 3, 5, 7 皆素数; 依次删去2 和3的大于1的倍数后，在剩下的序列中，小于的数2, 3, 5, 7, 11, 13，17, 19, 23 皆素数; ,以此类推.设顺序排列的所有素数2, 3, 5, 7, 11, 叫序列素数，记作 1， 2， 即=2, =3, =5, =7, =11, .从中依次分别删去序列素数2, 3, 5, 的大1的倍数后的序列记作其是无所有素数的大于1的倍数即无所有合数的序列素数. 中数两两相加之和记作,其是序列素数而非合数的两两相加. 当 =2 时, 数列 = 是大于 2 的奇数数列, 即3, 5, 7, . 它是同余方程 (1)的正整数解的集合, 其中小于 的数 3, 5, 7 皆素数. 当=3 时, 序列=是下面三个同余方程 , , , (2)正整数解的集合. 从数列中依次分别删去2及3 的大于1的倍数后的序列记作， 从式 (1), (2) 中各取一个方程可组成个由两个同余方程联立的同余方程组, 即 , , .那么, 是这三个同余方程组正整数解的集合. 其中小于的数皆素数. 当 =5 时, 序列 = 是下面五个同余方程, , , , (3)的正整数解的集合. 从式 (1), (2), (3) 中各取一个方程可组成个由三个同余方程联立的同余方程组, 是它们的正整数解的集合. 其中小于 的数皆素数. 当 时, 序列 是个同余程 ， ， 的正整数解的集合. 从式 (1), (2), ， 中各取一个方程可组成 个由 个同余程联立的同余方程组, 是它们的正整数解的集合. 其中小于 的数皆素数. 同理，当 = 时, 是由无数个同余方程联立的无数个同余方程组的正整数解的集合. 所有的解皆素数.定理4.1 任意大于6的偶数皆可用两素数之和来表示证: 由定理 2.1 知, 当 =2 时, =排列为大于6的偶数数列. 与等价, 同余方程 （5）是1个同余方程，其正整数解的集合是大于6的所有偶数. 中, 小于的数皆素数, 小于的偶数8必由小于的两素数相加而得.由定理 2.2 知, 当 时，排列为大于 6 的自然数数列. 和 等价, 同余方程： 当 =3 时, = (6) 是3个同余方程. 由式 (5), (6) 可组成个由两个同余方程联立的同余方程组 , , 是这3个同余方程组正整数解的集合，其解是大于6的偶数数列. 数列 中, 小于的数皆素数, 小于的偶数皆必由小于的两素数相加而得. 当 =5 时, = , , , , (7)是3个同余方程. 由式 (5), (6)，(7) 可组成个由三个同余方程联立的同余方程组, 是这15个同余方程组正整数解的集合，其解是大于6的偶数数列. 数列 中, 小于的数皆素数, 小于的偶数皆必由小于的两素数相加而得. 同理, 当 = 时, （8）是个同余方程. 由式 (5)