上海海事大学2012-2013第二学期线性代数期末A卷-------详细解答.pdf

2012 2013 学年第二学期线性代数期末考试卷详解 2012 2013 学年第二学期线性代数期末考试卷详解 一 填空题 1 10 321 642 963 注 使用矩阵结合律 并且注意 是常数 2 1 0 0 1 31 10 12 01 20 1 5 1 1 3 3 注 把 31 51 12 3 4 20 1 5 1 1 3 3 的第二行元素换成第二行代数余子式线性组合 1 0 0 1 的系数 31 10 1 1 00 20 1 5 1 3 3 4 1 1 1 1 0 5 1 3 3 4 1 1 1 4 0 5 10 35 1 5 20 15 3 设 则 因为 4 0 故 4 0 3 2 0 1 2 3 2 1 2 3 2 因此 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 即 1 2 4 所以当且仅当 0时 0 即 为齐次方程 0解的充要条件为 0 5 设 则 10 01 10 01 01 10 10 01 Det Det 10 01 10 01 01 10 10 01 0 秩 秩 秩 4 即 线性相关 注 假如 且 Det 0 此时则有 秩 秩 秩 因此 此时如果 线性相关 即 不是列满秩 则 也线性相关 即 也不是列满秩 如果 线性无关 即 是列满秩 则 也 线性无关 即 也是列满秩 6 的行数 秩 秩 的行数 故 秩 秩 所以方程 一定有解 7 设 如果 是 的特征值 则如果 是 的特征值 1 1 2 是 的特征值 因此 的特征值为 1 1 2 所以 1 1 2 3 3 10 1 2 94 8 二次型 的矩阵为 2 2 54 244 因此 正定的充要条件为 2 5 0 且 2 2 54 244 0 故 10 0 且 4 3 1 0 即 10 10 且 1 3 因此二次型 正定的充要条件为 1 3 9 2 56 4 6 77 7 700 0 20 00 与 相似 故对角线上的元素之和相同 且行列式相等 所以 2 7 7 2 且 2 56 4 6 77 7 7 2 故 4 且 19 4 解得 3 7 二 计算题 1 1 1 1 1 1 111 1 1 111 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 把上面a 换成a 则得 1 因此 的特征值为 1 为正定矩阵的充要条件是特征值为全大于零 因此 当 1 0 且 时 为正定矩阵 二 计算题 2 16 03 912 69 00 00 36 01 10 01 00 00 00 00 10 01 16 03 90 60 00 00 30 01 10 01 0 12 0 9 00 00 1 6 01 16 03 00 00 00 00 30 01 10 01 36 23 00 00 1 6 01 10 03 0 0 0 0 00 00 30 01 1 2 01 10 23 00 00 1 6 01 10 01 0 0 0 0 00 00 10 01 1 2 01 3 10 2 31 00 00 1 3 2 01 因此 1 2 01 3 10 2 31 0 0 0 0 1 3 2 01 9 故 16 03 912 69 00 00 36 01 1 2 01 3 10 2 31 0 0 0 0 1 3 2 01 10 21 3 0 0 00 1 2 3 0 1 1 30 21 二计算题 3 10 11 413 15 17 39 19 119 10 01 413 3 8 07 09 5 4 11 20 10 01 413 3 8 00 00 1652 1652 10 01 00 07 4 00 00 113 4 00 故该向量组的秩为 3 为一个极大无关组 显然 因此 二计算题 4 方程组的系数矩阵为行列式为 1 11 11 1 111 第二第三行同时加到第一行 3 3 3 11 1 111 把第一行3 提出 3 111 11 1 111 第一行乘以 1 加到第二第三行 3 111 0 0 00 3 方程组有唯一解的充要条件为系数矩阵行列式不为零 即 3 且 0 方程组有唯一解 余下的情形只有 3 或 0 若 3相应的方程组的增广矩阵为 211 1 21 11 2 1 3 9 05 1 1 21 000 5 3 7 1 21 05 1 000 3 5 7 即秩 2 秩 3 此时方程组无解 若 0相应的方程组的增广矩阵为 111 111 111 1 0 0 111 000 000 1 1 0 即秩 1 秩 2 此时方程组亦无解 因此 当 3 且 0 方程组有唯一解 当 3 或 0 方程组有无解 方程组不存在有无穷多解得情形 二计算题 5 i ii 的特征多项式为 322 2 1 2 1 第二第三行同时加到第一行 1 1 1 2 1 2 1 1 111 2 1 2 1 1 111 0 2 3 0 3 2 1 5 因此 的特征值为 1 5 1的特征向量 所满足的齐次线性方程组 的系数矩阵为 422 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 000 000 故 0 为非自由变量 为自由变量 令 2 2 则得该齐次方程通解 2 2 1 2 0 1 0 2 基础解系为 1 2 0 1 0 2 就是与特征值 1相应的 两个线性无关的特征向量 把它们正交化可得的与特征值 1相应的两个相互正交特征向量 1 2 0 1 0 2 1 5 1 2 0 1 5 4 2 10 单位化可得 1 5 1 2 0 1 30 2 1 5 5的特征向量 所满足的齐次线性方程组的系 数矩阵为 5 222 25 1 2 15 111 25 1 2 15 111 03 3 0 33 111 01 1 000 102 01 1 000 故 2 0 0 为非自由变量 为自由变量 令 则 2 故得该齐次方程通解 2 2 1 1 因此与 5 相对应的特征向量为 2 1 1 单位化可得 1 6 2 1 1 所求的正交矩阵为 0 100 010 00 5 使得 从而 0 100 010 00 5 0 注 12 2 2 11 051 00 0 0 00 12 2 2 11 051 00 0 1 30 0 00 1 6 100 010 00 5 00 0 1 30 0 00 1 6 12 2 2 11 051 12 2 2 11 051 1 500 01 300 00 5 6 12 2 2 11 051 1 30 12 2 2 11 051 600 010 00 1 5 120 2 15 211 1 30 62 2 1 5 12 1 1 5 05 1 5 120 2 15 211 1 30 10 4 1 5 10 2 1 5 10 2 1 5 10 2 1 5 25 1 5 5 1 5 10 2 1 5 5 1 5 25 1 5 1 6 2 4 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 5 5 1 5 2 2 5 1 5 5 5 iii 1 6 2 4 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 5 5 1 5 2 2 5 1 5 5 5 1 0 0 1 6 2 4 5 2 2 5 2 2 5 因此 x 2 4 5 6 1 2 5 3 三 证明题