高三第一轮复习 集合与充要条教师.docx

高三第一轮复习 集合与充要条件【要点精讲】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且AB，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n1个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。【典例解析】题型1：集合的概念 (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。 例1（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A. 3个 B. 2个C. 1个 D. 无穷多个答案 B 解析 由得，则，有2个，选B.题型2：集合的性质例2(2009山东卷理)集合,若,则的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.随堂练习1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A2 B3 C3，2 D2，3 2. 已知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B=y|y2-6y+80，若AB，则实数a的取值范围为（ ）分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答解：由题知可解得A=y|ya2+1或ya, B=y|2y4,我们不妨先考虑当AB时a的范围如图由，得或.即AB时a的范围为或.而AB时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”例4已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：；，即0，解得当时，为A中元素；当时，当时，这样的实数x存在，是或。另法：，0且或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围解 （1）AB（2）由ABB得AB，因此所以,所以实数的取值范围是例6（2009宁夏海南卷理）已知集合,则( ) A. B. C. D.答案 A解析 易有，选A点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例7（2009年广西北海九中训练）已知集合M=，N=，则 （ ） A B C D答案 C例8湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学（理）试卷设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元素，求a的取值集合。解：时， ，当时，在此区间上恰有2个偶数。例9向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x。依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例11（1999上海，17）设集合A=x|xa|2，B=x|1，若AB，求实数a的取值范围。解：由|xa|2，得a2xa+2，所以A=x|a2xa+2。由1，得0，即2x3，所以B=x|2x3。因为AB，所以，于是0a1。点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。例12已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR。试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）AB至多有一个元素；解：（1）正确；在等差数列an中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上。（2）正确；设(x,y)AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。AB至多有一个元素。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合，,求实数m的取值范围.分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：的取值范围是UM=m|m-2.（解法三）设这是开口向上的抛物线，则二次函数性质知命题又等价于注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。题型6：集合的子交并补及空集的运算 10（2011天津）已知集合A=xR|x+3|+|x4|9，B=，则集合AB=x|2x5考点：交集及其运算。专题：计算题。分析：求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出AB解答：解：集合A=xR|x+3|+|x4|9，所以A=x|4x5；集合，所以B=x|x2所以AB=x|54x5x|x2=x|2x5故答案为：x|2x5点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力11（2011天津）已知集合A=xR|x1|2，Z为整数集，则集合AZ中所有元素的和等于3考点：交集及其运算。专题：计算题。分析：先根据绝对值不等式求出集合A，然后根据交集的定义求出AZ，最后求出集合AZ中所有元素的和即可解答：解：A=xR|x1|2=x|1x3而Z为整数集，集合AZ=0，1，2故集合AZ中所有元素的和等于0+1+2=3故答案为3点评：本题属于以绝对值不等式为依托，求集合的交集的基础题，同时考查了集合中元素的和12（2010江苏）设集合A=1，1，3，B=a+2，a2+4，AB=3，则实数a=1考点：交集及其运算。专题：计算题。分析：根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可解答：解：AB=33B，又a2+43a+2=3 即 a=1故答案为1点评：本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型13（2010上海）已知集合A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，则实数a的取值范围是a1考点：并集及其运算。专题：常规题型。分析：利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集解答：解：A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，如图，故当a1时，命题成立故答案为：a1点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型14（2009重庆）若U=n|n是小于9的正整数，A=nU|n是奇数，B=nU|n是3的倍数，则U（AB）=2，4，8考点：并集及其运算；补集及其运算。专题：计算题。分析：先求出满足条件的全集U，进而求出满足条件的集合A与集合B，求出AB后，易根据全集U求出U（AB）解答：解：U=n|n是小于9的正整数，U=1，2，3，4，5，6，7，8，则A=1，3，5，7，B=3，6，9，所以AB=1，3，5，7，9，所以U（AB）=2，4，8点评：本题考查的知识点是并集运算和补集运算，运算的关键是准确列举出满足条件的集合15（2009江苏）已知集合A=x|log2x2，B=（，a），若AB则实数a的取值范围是（c，+），其中c=4考点：集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。分析：先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求解答：解：A=x|log2x2=x|0x4而B=（，a），ABa4即实数a的取值范围是（4，+），故答案为：4点评：本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型16（2009湖北）设集合A=x|log2x1，B=x|0，则AB=x|0x1考点：交集及其运算；对数函数的定义域。专题：综合题。分析：把集合A中的1变为log22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出x的范围即可得到集合A；由集合B中的不等式得到x1与x+2异号，列出不等式求出解集即可得到集合B，然后求出A与B的交集即可解答：解：由已知，集合A中的不等式log2x1=log22，由21得到对数函数为增函数及对数函数的定义域为：x0得到：0x2；而集合B中的不等式0可化为或，解得2x1，则A=x|0x2，B=x|2x1，所以AB=x|0x1故答案为：x|0x1点评：本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式0与不等式（xa）（xb）0同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算17（2008江苏）若集合A=x|（x1）23x+7，xR，则AZ中有6个元素考点：交集及其运算。分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x1）23x+7，再与Z求交集解答：解：由（x1）23x+7得x25x60，A=（1，6），因此AZ=0，1，2，3，4，5，共有6个元素故答案是 6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式18（2008上海）若集合A=x|x2、B=x|xa满足AB=2，则实数a=2考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。分析：由题意AB=2，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可解答：解：由AB=2，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2故填2点评：本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题19（2007北京）已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40若AB=，则实数a的取值范围是（2，3）考点：集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算。专题：计算题。分析：化简A与B两个集合，AB=，本题不用分类，由形式可以看出，A不是空集，由此，比较两个端点的大小就可以求出参数的范围了解答：解：集合A=x|xa|1=x|a1xa+1，B=x|x25x+40=x|x4或x1又AB=，解得2a3，即实数a的取值范围是（2，3）故应填（2，3）点评：考查集合之间的关系，通过数轴进行集合包含关系的运算，要注意端点的“开闭”20（2006上海）已知A=1，3，m，集合B=3，4，若BA，则实数m=4考点：集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。分析：先由BA知，集合B是集合A的子集，然后利用集合子集的定义得集合A必定含有4求出m即可解答：解：已知A=1，3，m，集合B=3，4，若BA，即集合B是集合A的子集则实数m=4故填：4点评：本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型21下列命题正确的个数0（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合y|y=x21与集合（x，y）|y=x21是同一个集合；（3）1，这些数组成的集合有5个元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集考点：集合的含义。专题：计算题。分析：利用集合的元素的特点：确定性、互异性、无序性判断出（1）（3）错；利用集合的表示法中的描述法要看代表元素判断出（2）错；利用象限中点坐标的特点判断出（4）错解答：解：对于（1）“很小”不确定，故（1）错对于（2）集合y|y=x21表示的是函数y=x21的值域；而集合（x，y）|y=x21表示的是y=x21图象上的点，故（2）错对于（3）；，所以些数组成的集合有3个元素，故（3）错对于（4）集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）错故答案为：0点评：本题考查集合的 元素的三要素：确定性、互异性、无序性；集合的表示法：描述法22（2011陕西）设nN+，一元二次方程x24x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4考点：充要条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系。专题：计算题；分类讨论。分析：由一元二次方程有实数根0得n4；又nN+，则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可解答：解：一元二次方程x24x+n=0有实数根（4）24n0n4；又nN+，则n=4时，方程x24x+4=0，有整数根2；n=3时，方程x24x+3=0，有整数根1，3；n=2时，方程x24x+2=0，无整数根；n=1时，方程x24x+1=0，无整数根所以n=3或n=4故答案为：3或4点评：本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略五【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、A、，等等； 2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是1, 所有非空真子集的个数是区分集合中元素的形式：如；。空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q(记作“pq” )；p且q(记作“pq” )；非p(记作“q” ) 。3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真4、四种命题的形式：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若P则q；逆否命题：若q则p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。命题与充要条件典型例题精讲精练1（2012天津）设xR，则“x”是“2x2+x10”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可解答：解：由2x2+x10，可知x1或x；所以当“x”“2x2+x10”；但是“2x2+x10”推不出“x”所以“x”是“2x2+x10”的充分而不必要条件故选A点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力2（2012四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）ABCD且考点：充分条件。专题：证明题。分析：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解：与共线且同向且0，故选 C点评：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题3（2012上海）对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：常规题型。分析：先根据mn0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn0，即可得到结论解答：解：当mn0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn0；由上可得：“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件故选B点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题4（2012湖南）命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=考点：四种命题。专题：应用题。分析：首先否定原命题的题设做逆否命题的结论，再否定原命题的结论做逆否命题的题设，写出新命题就得到原命题的逆否命题解答：解：命题：“若=，则tan=1”的逆否命题为：若tan1，则故选C点评：考查四种命题的相互转化，命题的逆否命题是对题设与结论分别进行否定且交换特殊与结论的位置，本题是一个基础题5（2012福建）下列命题中，真命题是（）Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用。专题：计算题。分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；解答：解：因为y=ex0，xR恒成立，所以A不正确；因为x=5时25（5）2，所以xR，2xx2不成立a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a1，b1是ab1的充分条件，显然正确故选D点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基