二阶线性常微分方程.pdf

1 Chapter 2 二階線性常微分方程 second order linear ODEs 2 1 二階齊次線性常微分方程 homogeneous linear ODEs of second order 線性二階常微分方程 xryxqyxpy 假如 0 xr 則稱此方程式為二階齊次線性常微分方程 假如 0 xr 則稱此方程式為二階非齊次線性常微分方程 Ex xeyy x cos25 二階非齊次線性常微分方程 0 xyyyx 或 0 yxyy 二階齊次線性常微分方程 0 2 yyy 二階非線性常微分方程 齊次線性常微分方程式 重疊原 superposition principle 1 假如 1 y是0 yxqyxpy的解答 則 1 cy 也是0 yxqyxpy 的解答 證 因為 00 111111 cqyypyccyxqcyxpcy 2 假 如 1 y和 2 y是0 yxqyxpy的 解 答 則 2211 ycyc 也 是 0 yxqyxpy 的解答 證 因為 000 2122221111 221122112211 ccqyypycqyypyc ycycxqycycxpycyc 3 假如 1 y是 xryxqyxpy 的解答 且 2 y是0 yxqyxpy的解 答 則 21 yy 是 xryxqyxpy 的解答 證 因為 rrqyypyqyypyyyqyypyy 0 222111212121 4 假如 1 y是 xryxqyxpy 的解答 則 1 cy是 xcryxqyxpy 的解答 證 rcqyypycqcyypcyc 111111 5 假如 1 y是 1x ryxqyxpy 的解答 且 2 y是 2 xryxqyxpy 的解答 則 21 yy 是 21 xrxryxqyxpy 的解答 證 21222111 212121 rrqyypyqyypy yyxqyyxpyy 2 Example 1 齊次線性常微分方程式 0 yy 有 解分別為 xycos 1 及 xysin 2 則 xxysin2cos7 4 也是微分方程式之解 Sol 確認 0coscoscoscos xxxxyy 0sinsinsinsin xxxxyy 0sin2cos7 4sin2cos7 4 sin2cos7 4sin2cos7 4 xxxx xxxxyy Example 2 非齊次線性常微分方程式 1 yy 有 解分別為 1cos 1 xy及 1sin 2 xy 但是 1 sin 1 cos xx 1 cos2 x及 1 sin2 x 是微分方程式 1 yy之解 Example 3 非線性常微分方程式 0 yxyy 有 解分別為 2 1 xy 及 1 2 y 但是 2 x 及 1 2 x 是微分方程式 0 yxyy 之解 起始值問題 initial value problem 基底 basis 通解或一般解 general solution 假如 1 y 和 2 y 是二階齊次線性常微分方程式 0 yxqyxpy的解 答 則 2211 ycyc 也是0 yxqyxpy 的解答 當 1 y 和 2 y 是線性獨 linearly independent 時 則 1 y 和 2 y可被稱為是 0 yxqyxpy的基底 basis or fundamental system 當 1 y 和 2 y 是線性獨 linearly independent 時 則 2211 ycycy 是 0 yxqyxpy 通解 或一般解 起始值問題 二階齊次線性常微分方程式 0 yxqyxpy及 個起使條 件 00 Kxy 及 10 Kxy 當通解 2211 ycycy 之常 1 c及 2 c藉由起使條件 00 Kxy 及 10 Kxy 得知 則此解稱為特解 particular solution Example 4 0 yy 30 y 5 0 0 y Sol 從 子一知道xycos 1 及 xysin 2 是此微分方程式的解 所以其通解為 3 xcxcysincos 21 微分得 xcxcycossin 21 將起始值帶入得 3010sin0cos0 12121 cccccy 3 1 c 5 0100cos0sin0 22121 cccccy 5 0 2 c 如果 1 y 和 2 y 是線性相依 linearly dependent 時 則此 函 彼此之間成比 也就是 21 kyy 或 12 lyy 其中k與l為常 可為 或其他 在區間I之區域內 1 y 和 2 y 滿足方程式 0 2211 ykyk 則 僅有在 0 1 k 及 0 2 k 的條件下 上述方程式才符合 則稱 1 y 和 2 y 是線性獨 當 1 k 及 2 k 並 是全部是 的條件下 上述方程式也符合 則稱 1 y 和 2 y 是線性相依 Example 5 0 yy 30 y 5 0 0 y Sol 知道xycos 1 及 xysin 2 是此微分方程式的解 因為此 解之商為 cotconstx 或 tanconstx 所以 1 y 和 2 y 是線性獨 因此其通解 為xcxcysincos 21 而藉由起始條件 可求其特解為 xxysin5 0cos3 Example 6 確認 x ey 1 及 x ey 2 是 ODE 0 yy 的解 並求其起始值問 題0 yy 60 y 2 0 y Sol 0 xxxx eeee 及 0 xxxx eeee 所以 x ey 1 及 x ey 2 是 0 yy 的解 而 2 consteee xxx 所以 x ey 1 及 x ey 2 是線性獨 所以其通解為 xx ececy 21 微分得 xx ececy 21 將起始值帶入得 6 0 21 0 2 0 1 ccececy 及 2 0 21 0 2 0 1 ccececy 解 方程組得 2 1 c 及 4 2 c 所以特解為 xx eey 42 一解已知如何得到基底 階 簡化或 階 reduction of order 齊次線性ODEs 0 yxqyxpy 已知一解為 1 y 也就是 1 y 滿足 0 111 yxqyxpy 則另一解 2 y 可假設為 12 uyy 微分得 112 yuyuy 再微分得 11111112 2yuyuyuyuyuyuyuy 將 2 y 4 2 y 及 2 y 帶入 0 yxqyxpy 得到 022 2 111111111 111111 ypyuyuqyypyuypyuyu quyyuyupyuyuyu 讓 Uu Uu 帶入原式得到 0 2 1 1 Up y y U 藉由變 分 法得到 dxp y y U dU 1 1 2 pdxyU 1 ln2ln 邊取指 pdxpdx y e y eeU 2 1 ln2 1 1 因為 Uu 所以 Udxu 12 uyy 而 12 constUdxuyy 所以 1 y 和 2 y 是線性獨 Example 7 已知 xy 1 是 ODEs 0 2 yyxyxx 的一解 求其另一解 Sol 假設另一解為uxuyy 12 微分得uxuy 2 再微分得 uxuy 2 2 將 2 y 2 y 及 2 y 帶入 0 2 yyxyxx 得到 02 2 uxuxuxuxuxx 02 2 uxuxx 讓 Uu Uu 帶入原式得到 02 2 UxUxx dx xx dx xx x U dU 2 1 12 2 積分得到 2 1 lnln21lnln x x xxU 22 111 xxx x U x xdx xx u 1 ln 11 2 所以 1ln 12 xxuxuyy 5 2 2 常係 之齊次線性常微分方程式 homogeneous linear ODEs with constant coefficients 二階常係 之齊次線性常微分方程式之通式 general form 可表示為 0 byyay 其中 a 和 b 為常 回想一階常係 線性常微分方程式 0 kyy k 為常 之解為 ky cey 其中 y 為指 函 exponential function 因此我們假設解的形式為 x ey 其微分為 x ey 再微分為 x ey 2 將 2 y 2 y 及 2 y 帶入 0 byyay 得到 0 2 x eba 0 2 ba 因為 0 x e 0 2 ba 稱為特徵方程式 characteristic equation 其解為 baa4 2 1 2 1 和 baa4 2 1 2 2 Case 1 個 同實 根 1 與 2 也就是 04 2 ba 所以其解表示為 x ey 1 1 及 x ey 2 2 而通解可表示為 xx ececycycy 21 212211 Example 1 0 yy Sol 讓 x ey 帶入方程式得到特徵方程式 01 2 1 1 及 1 2 所以通解為 xx ececy 21 Example 2 02 yyy 40 y 50 y Sol 讓 x ey 帶入方程式得到特徵方程式 02 2 1 1 及 2 2 所以通解為 xx ececy 2 21 微分得 xx ececy 2 21 2 將起始值帶入得 6 4 0 21 0 2 0 1 ccececy 及 522 0 21 0 2 0 1 ccececy 解 方程組得 1 1 c 及 3 2 c 所以特解為 xx eey 2 3 Case 2 實 雙重根 2 21 a 也就是 04 2 ba 所以其中一解表示為 x a ey 2 1 另一解 2 y 可假設為 12 uyy 微分 得 112 yuyuy 再微分得 11111112 2yuyuyuyuyuyuyuy 將 2 y 2 y 及 2 y 帶入 0 byyay 得到 02 2 111111 111111 byyayuyayuyu buyyuyuayuyuyu 上述式子之最後括弧項為 因為 1 y 是 0 byyay 之解 而式子 之第一項括弧亦為 因為 1 2 1 2 22aye a y x a 最後得到 0 u 經 次積分後 BxAu 可假設讓 0 B 1 A 所以 x a xeuyy 2 12 而通解可表示為 x a x a xececycycy 2 2 2 12211 Example 3 096 yyy Sol 讓 x ey 帶入方程式得到特徵方程式 096 2 3 21 所以通解為 xx xececy 3 2 3 1 Example 4 025 0 yyy 30 y 5 30 y Sol 讓 x ey 帶入方程式得到特徵方程式 025 0 2 05 21 所以通解為 xx xececy 5 0 2 5 0 1 微分得 xxx xecececy 5 0 2 5 0 2 5 0 1 5 05 0 將起始值帶入得 30 0 1 0 2 0 1 cececy 及 5 35 005 05 0 0 21 0 2 0 2 0 1 ccecececy 解 方程組得 3 1 c 及 2 2 c 所以特解為 xx xeey 5 05 0 23 7 Case 3 共軛複 根 iqp 1 與 iqp 2 也就是 04 2 ba 所以其解表示為 1 1 m xy 及 2 2 m xy 而通解可表示為 21 212211 mm xcxcycycy Example 1 05 05 1 2 yyxyx Sol 讓 m xy 帶入方程式得到輔助方程式 05 05 1 1 mmm 05 05 0 2 mm 其根為 5 0 1 m 及 1 2 m 所以通解為 x c xcy 2 1 Case 2 實 雙重根 2 1 21 a mmm 也就是 041 2 ba 所以其中一解表示為 2 1 1 a m xxy 另一解 2 y可假設為 12 uyy 微分 得 112 yuyuy 再微分得 11111112 2yuyuyuyuyuyuyuy 將 2 y 2 y 及 2 y 帶入 0 2 byyaxyx 得到 02 2 111 2 1 2 11 2 111111 2 byyaxyxuyxaxyuyux buyyuyuaxyuyuyux 9 上述式子之最後括弧項為 因為 1 y 是 0 2 byyaxyx 之解 而式 子之第一項括弧為 11112 1 2 1 2 1 2222 mmmmm xa a xamxmxxxaxyxaxy 最後得到 0 12 mm xuxu xu u1 xulnln 雙邊取指 x u 1 經積分後得 xuln 所以 2 1 12 ln a xxuyy 而通解 可表示為 2 1 212211 ln a xxccycycy Example 2 095 2 yyxyx Sol 讓 m xy 帶入方程式得到輔助方程式 095 1 mmm 096 2 mm 其根為 3 21 mmm 重根 所以通解為 3 21 lnxxccy Case 3 共軛複 根 iqpm 1 與 iqpm 2 也就是 041 2 ba 所以 xqixqxexexxxx pxiqp iq xpiqpm lnsinlncos lnln 1 xqixqxexexxxx pxiqp iq xpiqpm lnsinlncos lnln 2 讓新的解為 xqxxxy pmm lncos 2 1 21 1 xqxxx i y pmm lnsin 2 21 2 而通解可表示為 xqcxqcxycycy p lnsinlncos 212211 Example 3 004 166 0 2 yyxyx Sol 讓 m xy 帶入方程式得到輔助方程式 004 166 0 1 mmm 004 164 0 2 mm 其根為 im42 0 1 與 im42 0 2 所以通解為 xcxcxycycyln4sinln4cos 21 2 0 2211 10 2 6 解的存在性與唯一性 existence and uniqueness of solution Wronskian 齊次線性常微分方程式 0 yxqyxpy 1 通解 2211 ycycy 2 起始條件 00 Kxy 及 10 Kxy 3 定 一 起始值問題之存在性及唯一性 xp 與 xq 在某開放區間 I 內為 續函 而且 0 x 位於開放區間 I 內 則對方程式 1 3 組成之起始值問題 在開放區間 I 內具有唯一解 xy Wronskian 式 determinant 當 1 y 和 2 y 是線性獨 時 則其wronskian 式值 等於 L I are and 0 L D are and 0 21 21 1221 21 21 21 yy yy yyyy yy yy yyw 定 二 解之線性相依及獨 假設 1 式在某開放區間具有 續函 xp 與 xq 則 1 式之 解 1 y 和 2 y 在開放區間 I 內為線性相依 且唯 if and only if 在開放區間 I 內 之某 0 x 其 Wronskian 21 yyw之值為 而且 假如在 0 xx 時 其 0 21 yyw 則在整個區間 I 內 其 21 yyw 恆等於 因此 在 I 內存 在某 1 x 使得 0 21 yyw 則 1 y 和 2 y 在開放區間 I 內為線性獨 Example 1 xy cos 1 及 xy sin 2 為0 2 yy 之解 其 21 yyw為 xx xx xx yyw 22 21 sincos cossin sincos 0 由定 二可知 1 y 和 2 y 為線性獨 當 0 其 00sin 2 y 所以 1 y 和 2 y 為線性相依 Example 2 x exccy 21 為 02 yyy 之通解 其 21 yyw為 0 2222 21 xxxx xxx xx exexee xeee xee yyw 所以 x ey 1 和 x xey 2 為線性獨 因此可構成解之基底 11 2 7 非齊次常微分方程式 nonhomogeneous ODEs 非齊次線性常微分方程式 xryxqyxpy 1 齊次線性常微分方程式 0 yxqyxpy 2 先前2 1 節的敘述 假如 h y是 xryxqyxpy 的解答 且 p y是 0 yxqyxpy的解答 則 ph yy 是 xryxqyxpy 的解答 定義 對非齊次方程式 1 在某開放區間 I 之通解為如下之形式 xyxyxy ph 3 其中 2211 xycxycxyh 為齊次方程式 2 在開放區間 I 內之通解 而 xyp 為 1 式在開放區間 I 內 含任意常 下之任意解 在開放區間 I 內 1 式之特解可由 3 式中之 xyh 給予特殊之 1 c 與 2 c 值而得到之 未定係 法 method of undetermined coefficients 非齊次固定係 二階線性常微分方程式 xrbyyay 4 其中 xr 為特殊函 如指 函 ax e 多項式 n x 餘弦函 mxcos 及正 弦函 mxsin 或是這些函 之和或成積 這些函 之微分導 型式與原函 似 由此可得關鍵性概 選擇一個與 xr 具同樣型式之 p y 代入 4 式而決 定之 未定係 法規則 基本規則 4 式中之 xr 為表 2 1 第一 之某一函 則在第二 中 選擇相對應之函 p y 並將 p y 及其微分導 代入 4 式以求出其未定之係 修正規則 所選擇之 p y 剛好是相對應 4 式之齊次方程式之一解 則將 所選擇之 p y 再乘以 x 解相對應於該齊次方程式之特徵方程式為重根 時 則乘以 2 x 相加規則 xr 為表 2 1 第一 中 個函 之和 則選擇 p y 為第二 中相對應 個函 之和 12 表 2 1 xr 項 p y之選擇 rx ke 1 0 L nkxn xk cos xk sin xke x cos xke x sin rx Ce 01 1 1 KxKxKxK n n n n L xMxK sincos xMxKe x sincos Example 1 2 001 0 xyy 00 y 5 10 y Sol 求齊次方程式 0 yy 之通解 特徵方程式 01 2 i 1 與 i 2 所以 xcxcyhsincos 21 2 001 0 xxr 所以假設 01 2 2 KxKxKyp 微分得 12 2KxKyp 再微分得 2 2Kyp 將 p y p y 及 p y 帶入 2 001 0 xyy 得到 2 01 2 22 001 02xKxKxKK 比較等號左右之 n x 前的係 得到 001 0 2 K 0 1 K 002 0 0 K 所以 002 0001 0 2 xyp 最後方程式之解 002 0001 0sincos 2 21 xxcxcxyxyxy ph 微分得 xxcxcy002 0cossin 21 將起始值帶入得 0002 0002 00sin0cos0 121 cccy 及 5 10002 00cos0sin0 221 cccy 解得 002 0 1 c 及 5 1 2 c 所以特解為 002 0001 0sin5 1cos002 0 2 xxxxy Example 2 x eyyy 5 1 1025 23 10 y 00 y Sol 求齊次方程式 025 23 yyy 之通解 特徵方程式 025 23 2 5 1 1 與 5 1 2 所以 x h exccy 5 1 21 x exr 5 1 10 所以假設 x p eCxy 5 12 微分得 xx p eCxCxey 5 125 1 5 12 13 再微分得 x p exxxCy 5 12 25 2332 將 p y p y 及 p y 帶入 x eyyy 5 1 1025 23 得到 1025 25 12325 262 222 CxxxCxxC 比較等號左右之 n x 前的係 得到 5 C 所以 x p exy 5 12 5 最後方程式之解 xx ph exexccxyxyxy 5 125 1 21 5 微分得 xxx exxeexcccy 5 125 15 1 222 5 7105 15 1 將起始值帶入得 1050 0 1 00 21 ceeccy 及 05 105 701005 15 1 0 12 000 222 cceeecccy 解得 1 1 c 及 5 1 2 c 所以特解為 xx exexxy 5 125 1 55 11 14 2 10