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教 案 用 纸教师：学科数学第 六 章 不等式 第3 节 算术平均数与几何平均数教研组长审批签字授课时数2授课时间 授课班级 教学分析 两个正数的算术平均数与几何平均数的定理在解决数学问题和实际问题中应用广泛，如证明不等式、求非二次函数的最大值和最小值等。教学目标1. 理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明和几何解释。2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理3. 培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力。重点、难点和关键重点：算术平均数与几何平均数定理难点：算术平均数与几何平均数定理的应用，特别是在证明不等式方面的应用。授课方式、方法及手段启发式教学法，学习过程中要注意有关思想方法的领会与把握以比较两个实数大小的基本方法和不等式有关性质为基础算术平均数与几何平均数定理算术平均数与几何平均数定理的应用课外作业教学回顾过程：一、 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 1指出定理适用范围：2强调取“=”的条件二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明： 即： 当且仅当时 注意：1这个定理适用的范围： 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广： 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证 推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 证明： 四、关于“平均数”的概念1如果 则：叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式： 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4的几何解释：ABDDCab以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DDAB 则 从而而半径五、例一 已知为两两不相等的实数，求证：证： 以上三式相加：例二、设x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时积xy有最大值例三、已知：a,b,c,d都是正数，求证：证明：例四、课本例3应用题六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、课堂练习：P11练习：1、2、3、4。八、作业：P11-12 P12 习题5.2 1-3补充：1已知
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