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第十一章动量矩定理TheoremofAngularMomentumLawofMomentofMomentum 问题的提出 图示定轴转动刚体 质心C过转轴 恒有 可见 动量只能反映刚体随质心运动的强弱 不能反映刚体绕质心转动运动强弱 本章基本内容 1 质点 质点系对点和轴的的动量矩概念及计算 2 质点 质点系对于固定点 固定轴及质心的动量矩定理 3 刚体定轴转动 刚体平面运动的微分方程及其应用 4 转动惯量概念及计算 11 1动量矩 momentofmomentum AngularMomentum 一 质点的动量矩 对点的动量矩 力对点O之矩 质点的动量对点O之矩 11 1 质点的动量对O点的动量矩 固定矢量 指向 按右手法则确定 几何表示 度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量 对轴的动量矩 类似于力对点之矩与力对轴之矩的关系 质点的动量mv对x轴之矩 质点的动量mv对x轴之矩 代数量 其正负由右手法则确定 动量矩单位 SI 二 质点系的动量矩 对点O的动量矩 质点系各质点的动量对某点O之矩的矢量和 质点系对O点的动量矩 对轴的动量矩 质点系各质点的动量对某轴之矩的代数和 质点系对某轴的动量矩 三 定轴转动刚体对转轴的动量矩 取质点Mi 质点Mi对转轴z的动量矩 刚体对转轴z的动量矩 记 11 15 称为刚体对转轴z的转动惯量 11 16 定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积 转向与角速度的转向相同 11 2转动惯量 MassMomentofInertia 刚体各质点的质量与它们到转轴z垂直距离的平方的乘积之和 一 转动惯量的基本概念 称为刚体对转轴z的转动惯量 转动惯量Jz的特点 Jz 0 恒正的标量 影响Jz的因素 与转轴z的位置有关 与质量mi的分布有关 改变Jz的方法 1 改变质量 密度 2 改变质量分布情况 物体转动运动惯性的度量 Jz的单位 SI 转动惯量改变的一个实例 二 转动惯量的计算 1 积分法 由定义 可得 适用于质量连续分布 几何形状简单的物体 若已知密度函数 则有 常见规则形状的均质物体 转轴过质心C的Jz由有关工程手册查得 均质杆 均质圆盘 轮 11 19 2 组合法 代数和 如 适用于均质 简单形状组合的物体 3 实验测定法 适用于任意不规则形状 质量分布不均匀的物体 复摆测定法 落体观测法 物理实验 4 转动惯量的工程实用计算公式 11 17 m为刚体的质量 z为回转半径Radiusofgyration 注意 z 相当长度 假想将刚体的质量全部集中离转轴距离 z的质点上 而此质点对轴z的转动惯量Jz与原刚体对轴z的转动惯量Jz相同 其中m Jz由计算或实验测定 然后反算 z 注意 z并不是质心C到转轴的距离 三 转动惯量的平行轴定理 设z轴过刚体的质心C z 与z轴平行 两轴间的距离为h 由转动惯量的定义 有 将 代入 有 由质心坐标的计算公式 有 11 20 转动惯量的平行轴定理 几点说明 轴z与轴z 必须平行 z轴必须过质心C 过质心C的转动惯量最小 均质杆 质量m 如 均质圆盘 质量m TheoremofAngularMomentum SampleProblem1 massoflever m1massofplate m2Inthisinitialtime angularvelocityequalsw computeangularmomentumaboutaxispassthroughpointOperpendiculartothesurface solution massofthehomogeneousplatewithyellowcolor mr R 3ComputeJA TheoremofAngularMomentum SampleProblem2 solution 11 3质点的动量矩定理 一 对固定点的动量矩定理 质点动量对某固定点O的矩 将上式两边对时间求导 有 由于O点为固定点 r为绝对运动矢径 有 另一方面由质点的动量定理 将上述关系代入 有 11 7 质点的动量对任一固定点的矩随时间的变化率 等于质点所受的力对该固定点的矩 质点对固定点的动量矩定理 二 对固定轴的动量矩定理 11 7 将上式两边同时向坐标轴投影 有 11 8 质点的动量对任一固定轴的矩随时间的变化率 等于质点所受的力对该固定轴的矩 质点对固定轴的动量矩定理 三 动量矩守恒定理 ConservationofMomentofMomentum 1 若 11 9 质点的动量对该固定点的矩矢保持不变 质点运动轨迹为平面曲线 质点的矢径单位时间内扫过的面积相等 质点运动轨迹为椭圆 有心力 力的作用线始终过某一固定点 该点称为力心 有心力作用下的质点 对力心的动量矩矢始终保持不变 大小 方向 三 动量矩守恒定理 ConservationofMomentofMomentum 2 若 11 10 若作用于质点的力对某固定点 或轴 的矩恒等于零 则质点的动量对该固定点 或轴 的矩保持不变 动量矩守恒定理 11 4质点系的动量矩定理 一 对固定点的动量矩定理 质点系 n个质点 质点Mi 外力 内力 由质点对固定点的动量矩定理 有 简写成 n个方程 将上述方程组两边相加 得 考虑到 有 11 11 内力系的主矩恒等于零 质点系对任一固定点的动量矩随时间的变化率 等于质点系所受外力对该固定点矩的矢量和 主矩 质点系对固定点的动量矩定理 二 对固定轴的动量矩定理 将式 11 11 向固定坐标轴投影 得 11 12 质点系对任一固定轴的动量矩随时间的变化率 等于质点系所受外力对该固定轴矩的代数和 主矩 质点系对固定轴的动量矩定理 注 与动量定理类似 质点系的内力不影响质点系总动量矩 三 质点系动量矩守恒 1 若 11 13 2 若 11 14 各力与z轴平行或相交 质点系动量矩守恒定理 四 应用 1 有关转动运动的动力学问题 转动碰撞问题 流体对叶轮的冲击力矩计算 2 动量矩守恒时 求刚体的转动角速度或速度等 注 定理中各运动量均为绝对运动量 例3 两个转子A和B分别以角速度 A B绕同一轴线Ox 且同方向转动 转动惯量分别为JA和JB 现用离合器将两转子突然结合在一起 求结合后两转子的公共角速度 解 两转子A B 受力 质点系对x轴的动量矩守恒 计算结合前后系统对轴x的动量矩 结合前 结合后 由质点系对x轴的动量矩守恒 有 这里假定 与 A B转向相同 例4 均质圆盘 其绕轴O的转动惯量为J 可绕通过其中心的轴无摩擦地转动 另一质量为m2的人由B点按规律沿距O轴半径为r的圆周运动 初始时 圆盘与人均静止 求圆盘的角速度与角加速度 解 圆盘与人一起 研究对象 受力分析 动量矩关于z轴守恒 计算质点系的动量矩 初始时 任意瞬时 负号说明实际转向与图中相反 例题5 求 此时系统的角速度 例题6 均质圆轮半径为R 质量为m 圆轮对转轴的转动惯量为JO 圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动 已知重物重量为W 求 重物下落的加速度 解 取系统为研究对象 应用动量矩定理 MassoftheChainWheel MMassoftheBlockAandB m1m2supposem1 m2ComputetheaccelerationofblockA TheoremofAngularMomentum SampleProblem7 solution analyzetheforcesandkinematicsofthesystem asthefigureshown TheoremofAngularMomentum SampleProblem7 solution 例8 高炉上运送矿料的卷扬机 半径为R的卷筒可绕水平轴O转动 它关于转轴O的转动惯量为J 沿倾角为 的斜轨被提升的重物A重W 作用在卷筒上主动转矩为M 设绳重和摩擦均可不计 试求重物的加速度 解 1 研究对象 卷筒与重物A整个系统 2 受力 所有外力 3 分析运动 计算系统对轴O的动量矩 以顺时针方向为正 4 外力对轴O的矩 对重物A 有 5 代入动量矩定理 方向与速度方向相同 例题9 水流通过固定导流叶片进入叶轮 入口和出口的流速分别为v1和v2 二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为 1和 2 水的体积流量为qV 密度为 水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2 叶轮水平放置 求 水流对叶轮的驱动力矩 解 在dt时间间隔内 水流ABCD段的水流运动到abcd时 所受的力以及他们对O轴之矩 重力 由于水轮机水平放置 重力对O轴之矩等于0 相邻水流的压力 忽略不计 叶轮的反作用力矩 与水流对叶轮的驱动力矩大小相等 方向相反 应用动量矩定理 11 5刚体定轴转动微分方程 设定轴转动刚体作用有力 F1 F2 Fn 转动角速度 转动惯量 Jz 其绕轴的动量矩 其转向与 相同 代入动量矩定理 有 11 21a 11 21b 11 21c 刚体定轴转动微分方程 转动定理 刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积 等于作用于刚体上的所有外力对转轴矩的代数和 讨论 1 方程建立了 与Mz的瞬时关系 须在任意瞬时建立方程 2 匀变速转动 匀速转动 角速度 取极值 3 则有 此时 取决于Jz Jz大 小 说明转动运动状态不易改变 Jz小 大 说明转动运动状态容易改变 惯性大 惯性小 Jz是刚体转动运动惯性的度量 应用 1 已知外力矩Mz 求 t 2 已知 t 求与力矩Mz有关的量 力 距离等 注意事项 1 不能求轴承反力 须由质心运动定理求 2 方程两边 与力矩Mz正转向规定一致 3 只适用于同一轴转动的刚体 一般适用于单个定轴转动刚体 例10 复摆compoundpendulum 物理摆physicalpendulum 如图 已知摆的重量为P 摆关于转轴O的转动惯量为JO 悬挂点 轴 O到质心的距离为a 求 复摆作微幅摆动时的运动规律 解 复摆 运动分析 任意瞬时OC与x轴的夹角为 注 以增大方向为正转向 建立定轴转动微分方程 并求解 1 两边同除以JO 并整理得 2 当作微幅摆动 很小 时 3 其解为 4 式中 常数A 由初始条件确定 摆动周期 5 讨论 转动惯量的复摆测定法原理 注意 方程两边正转向规定必须一致 例题11 求 制动所需的时间 已知 JO 0 FN f 解 取飞轮为研究对象 解得 例12 高炉上运送矿料的卷扬机 均质卷筒半径为R 重量为G 沿倾角为 的斜轨被提升的重物A重W 作用在卷筒上主动转矩为M 斜面与重物间摩擦因素为 绳重可不计 试求重物的加速度 解 1 研究对象 卷筒O 1 2 研究对象 重物A 2 3 4 3 运动学关系 5 联立求解 得 如何求轴承反力 需对卷筒用质心运动定理 讨论 例题13 已知 J1 J2 R1 R2 i12 R2 R1 M1 M2 求 轴 的角加速度 解 分别取轴 和 为研究对象 解得 例14 转子 对自身转轴的转动惯量为J1 1kg m2 转子 对其转轴的转动惯量为J2 1 5kg m2 两轴的齿数之比k z1 z2 1 2 如图所示 设转子 上作用有转矩为M的力偶 使转子 自静止开始匀加速转动 经过10s转速达n1 1500r min 已知轴 上齿轮的节圆半径为r1 100mm 轴承摩擦不计 试计算转矩M和齿轮的圆周力Ft 解 运动分析 转向与M相同 1 轴 外啮合 1与 2转向相反 两边都以逆时针为正 2 两边都以顺时针为正 由传动比概念 有 轴 利用 联立求解 1 2 得 几点注意 1 对每一轴分别列方程 2 方程两边正转向规定一致 3 1与 2转向协调 例15 图示系统 均质圆轮A 质量m1 半径r1 以角速度 绕轴A转动 均质圆轮B 质量m2 半径r2 绕轴B转动 初始静止 现将轮A放置在轮B上 问自A轮放在B轮上到两轮间无相对滑动为止 需用多少时间 设两轮间的摩擦因素为 略去轴承摩擦和杆OA的质量 解 假设两轮的角加速度分别为 转向如图 轮A 1 2 3 求解得 任意瞬时角速度 轮B 4 5 6 无相对滑动的条件 将式 4 6 代入得 4 其中 解除约束前 FOx 0 FOy mg 2 突然解除约束瞬时 FOx FOy 关于突然解除约束问题 例16 突然解除约束瞬时 杆OA将绕O轴转动 不再是静力学问题 这时 0 0 需要先求出 再确定约束力 应用定轴转动微分方程 应用质心运动定理 解除约束的前 后瞬时 速度与角速度连续 加速度与角加速度将发生突变 突然解除约束问题的特点 系统的自由度一般会增加 例17 均质圆盘 质量为m 半径为R 不计轴承摩擦 图示位置 OB处于水平 现将绳子BD突然切断 求 切断瞬时轴承O处的反力 解 分析 需先求圆盘角速度与角加速度 质心的加速度 再求轴承反力 圆盘 列写定轴转动微分方程 切断瞬时圆盘的角速度为 质心的加速度 以顺时针为正 代入质心运动定理 实际方向与图中相反 11 6质点系相对于质心的动量矩定理 由质心坐标公式 有 一 质点系对质心的动量矩计算 11 6质点系相对于质心的动量矩定理 二 质点系对质心的动量矩定理 质点系相对于质心 平移系 的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 这就是质点系相对于质心 平移系 的动量矩定理 例18均质圆盘质量为2m 半径为r 细杆OA质量为m 长为l 3r 绕轴O转动的角速度为w 求下列三种情况下系统对轴O的动量矩 a 圆盘与杆固结 b 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动 c 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w顺时针方向转动 解 a 圆盘与杆固结 解 b 圆盘绕轴A相对杆OA以角速度w逆时针方向转动 刚体的平面运动可以分解为随质心 以质心为基点 的平动和绕质心的转动 先将前面质系动量矩的计算应用到刚体平面运动中来 b c 11 7刚体的平面运动微分方程 由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理 有 刚体平面运动微分方程 例题19 已知 m R f 就下列各种情况分析圆盘的运动和受力 a 斜面光滑 解 取圆轮为研究对象 圆盘作平动 b 斜面足够粗糙 由得 满足纯滚的条件 c 斜面介于上述两者之间 圆盘既滚又滑 例题20 平板质量为m1 受水平力F作用而沿水平面运动 板与水平面间的动摩擦系数为f 平板上放一质量为m2的均质圆柱 它相对平板只滚动不滑动 求平板的加速度 解 取圆轮和板为研究对象 对板 对圆轮 已知 m1 m2 R f F 求 板的加速度 例21均质圆柱体A和B质量均为m 半径均为r 圆柱A可绕固定轴O转动 一绳绕在圆柱A上 绳的另一端绕在圆柱B上 求B下落时 质心C点的加速度 摩擦不计 解 取A分析 受力如图 A作定轴转动 应用定轴转动的微分方程有 其中 取B分析 受力如图 B作平面运动 应用平面运动的微分方程有 由运动学关系aD raA 而由加速度合成定理有 D 例22均