数学物理方程-第2章-2012.ppt

数学物理方程 2 1热传导方程及其定解问题的导出 第二章热传导方程 物理背景 热传导和扩散等物理现象 因为温差而引起的热量输运过程称为热传导 由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和位置的变化 所以 解决热传导问题都要归结为求物体内温度的分布 下面 考察空间某个物体G的传导问题 以函数u x y z t 表示物体G在位置 x y z 及时刻t的温度 根据传热学中的傅立叶实验定律 物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面法线方向的方向导数 u n成正比 即 其中 k x y z 称为物体在点 x y z 处的热传导系数 它应取正值 1 1 中的负号出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧 因此dQ与 u n异号 1 热传导方程的导出 在物体G内任取一闭曲面 它所包围的区域记为 由 1 1 式从时刻t1到t2流入此闭曲面的全部热量为 这里 u n表示u沿 上单位外法线方向n的方向导数 这里规定热量流入为正 流入的热量使得物体内部温度发生变化 在时间间隔 t1 t2 中物体温度从u x y z t1 变化到u x y z t2 它所应该吸收的热量是 其中c为比热 为密度 因此有下式成立 假设温度分布函数u关于变量x y z具有二阶连续偏导数 关于具有一阶连续偏导数 利用格林公式 可以把 1 3 式化为 于是 得到 由于 t1和t2都是任意取定的 因此我们得到 上式称为非均匀各项同性体的热传导方程 如果物体的质地是均匀的 那么k c和 均为常数 记k c a2 可得 如果所考察的物体内部有热源 那么热传导方程的推导中还需要考虑热源的影响 若设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F x y z t 则在考虑热平衡时 1 3 式左边需要添加一项 于是 相应于 1 6 的热传导方程应改为 1 6 式称为齐次热传导方程 而 1 7 称为非齐次热传导方程 2 定解问题的提法 从物理学角度来看 如果知道了物体在边界上的温度状况 或热交换状况 和物体在初始时刻的温度 就可以完全确定物体在以后时刻的温度分布 因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在给定的初始条件和边界条件下求问题的解 由于方程中只有时间的一阶导数项 因此初始条件的提法很简单 即 其中 为物体的边界曲面 g x y z t 是定义在该曲面上关于时间的已知函数 u x y z 0 x y z 下面着重讨论边界条件的提法 最简单的情形为物体的表面温度是已知的 这个条件的数学形式为 1 9 与前面波动方程一样 边界条件 1 10 式称为第一类边界条件或狄利克雷 Dirichlet 边界条件 我们考虑另外一种边界情况 在物体的表面上知道的不是它的表面温度 而是热量在表面各点的流速 也就是说表面各点处单位时间单位面积上流过的热量Q已知 根据傅立叶定律 这种情况实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的 这种边界条件的数学形式为 这种边界称为热传导方程的第二类边界条件 又称诺依曼 Neumann 边界条件 接下来我们考察第三种情况 物体在边界上与其他传热介质接触 我们能测量到的是与物体接触的介质的温度u1 它和物体表面上的温度u往往并不相同 在这种情况下 边界条件的提法中还必须利用物理学中的另一个热传导实验定律 牛顿定律 从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比 这里的比例常数k1称为热交换系数 它也取正值 考察流过物体表面 的热量 从物质内部来看它由傅立叶定律决定 而从介质方面来看则应由牛顿定律决定 因此成立着以下关系式 由于k和k1都是正数 因此这种边界条件的数学形式可以写成 这种边界称为热传导方程的第三类边界条件 与弦振动方程比较 这三类边界条件虽然从不同的物理角度分别归结出来 但在数学形式上是完全一样的 同样的 如果所考察的物体体积很大 而所需要知道的是较短时间和较小范围内的温度变化情况 边界条件产生的影响可以忽略 那么就不妨把所考察的物体视为充满整个空间 于是定解问题就变为柯西问题 此时的初始条件为 注意 热传导方程的定解问题中 初始条件只能给出一个 在适当的情况下 方程中描述空间坐标的独立变量数目还可以减少 例如对于侧面绝热的均匀细杆 温度函数仅与坐标及时间有关 我们就得到了一维热传导方程 同样考虑薄片状物体的热传导问题 可得二维热传导方程 3 扩散方程 扩散方程与热传导方程的导出过程极为相似 只要将扩散方程所满足的物理规律与热传导方程所满足的物理规律作一个类比 扩散方程就自然可以得出 在热传导方程推导过程中 起作用的基本规律是傅立叶定律和热量守恒定律 在考虑扩散问题时 起作用的基本规律是扩散定律和质量守恒定律 它们的形式是 N表示扩散物质的浓度 D x y z 代表扩散系数 对比前面的基本规律 它们的数学形式极其相似 于是我们可以立刻写出扩散方程为 如果扩散系数D x y z 为常数 那么扩散方程可以写为与 1 6 式相同的形式 扩散方程也可以提出相应的柯西问题和初边值问题等定解问题 分离变量法对热传导方程的初边值问题也是适用的 以下以热传导方程在边界上分别取第一和第三边界条件的初边值问题为例详细讨论其求解过程 利用分离变量法求解如下的初边值问题 其中h为正的常数 用分离变量法求解 令u x t X x T t 这里X x 和T t 分别表示仅与x有关和仅与t有关的函数 把它代入方程 2 1 得到 这个等式只有在两边均等于常数时才能成立 令该常数为 则有 2 2初边值问题的分离变量法 首先考虑方程 2 6 的求解 根据边界条件 2 3 和 2 4 X x 应当满足边界条件 对于边值问题 2 6 和 2 7 通过与前一章类似的讨论可得 1 当 0时 利用边界条件X 0 0得A 0 于是由 2 7 的第二个边界条件可以得到 为了使X x 为非平凡解 应满足 即 是以下超越方程的正解 令则 2 11 式变为利用图解法或数值解法可以得出这个方程的根 由右图可知 方程有可列举的无穷多个正根 k 0 k 1 2 满足 k 1 2 k k 因此 特征值问题 2 6 和 2 7 存在无穷多个固有值 以及固有函数 把前面得到的代入方程 2 5 可得 于是我们得到一列可分离变量的特解 由于方程 2 1 和边界条件 2 3 和 2 4 都是齐次的 所以可以利用叠加原理构造级数形式的解 以下的任务是利用初始条件 2 2 来决定常数Ak 为了使在t 0时u x t 取到初值 x 应成立 为了确定系数Ak 须先证明固有函数系在 0 l 上正交 设固有函数Xn和Xm分别对应于不同的固有值 n和 m 即 以Xn和Xm分别乘以上面第一和第二式 相减后在 0 l 积分 利用Xn和Xm都满足边界条件 2 3 2 4 就得到 由于 n和 m不等 故得到固有函数系的正交性 于