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曲面积分导学第一型和第二型曲面积分是多元函数积分中的重点之一,不少同学对它们的概念来源和它们的计算方法一头雾水,不甚理解.下面我们就来仔细的探讨下学习这部分内容的几个注意点.在阅读本文之前,读者要对第一型和第二型曲面积分已经有了一点了解.第一型曲面积分(1) 概念的起源第一型曲面积分的概念起源于如何求一个曲面的面积问题.给定一个曲面:,如何求该曲面的面积呢?我们采用微元法来分析,先将曲面分割成很多个小曲面,任取一个小曲面,记该小曲面的面积为,那么整个曲面的面积就是把这些小曲面的面积都加起来,即做积分,.(2) 曲面面积微元分析正如计算曲线的弧长的关键是找出弧长微元的计算公式,要计算出曲面的面积也是要把上面的曲面面积微元搞清楚.下面我们来仔细分析.这里我们做一个技术性的处理,我们在平面上用与轴和轴平行的线将曲面在平面上的投影区域分割成若干矩形小区域,然后以平行于轴的母线做柱体将曲面分成若干小曲面.每个小曲面的面积就是.因为每个小曲面很小,所以可以近似看成是一个小平面,该小平面的在平面上的投影区域是边长为的小矩形.容易看到这是一个平行四边形形状的小平面.它的两条边分别看成是向量,则它的面积就是,即向量叉乘的模.(图1)下面来计算.容易看到与垂直, 也和轴垂直,所以的方向就是.另外在平面上的投影是,所以我们可以求出模的大小.这样.类似方法可以算出.这样.所以曲面面积就可化为如下的二重积分计算.(3) 面积微元公式的几何意义将面积微元公式改写为.其中和的几何意思我们是很清楚的,剩下表示什么呢?我们知道曲面的法方向是,单位化得单位外法向量.那么就是与轴正向夹角的余弦的绝对值.这样,我们得到一个微元几何关系的公式:. 值得注意的是这个关系在研究第二型曲面积分时还会用到.(4) 第一型曲面积分的计算利用上面对曲面面积微元的分析结果,我们可将一个第一型曲面积分化为二重积分计算,即.第二型曲面积分(1) 概念的起源第二型曲面积分的概念起源于求不可压缩流体通过一个定向曲面的流量问题.设流体的流速为,曲面的单位法方向为,求单位时间内流体流过曲面的流量.我们还是采用微元法来做.将曲面分割成很多小曲面,任取一个小曲面, 记该小曲面的面积为.先考虑该小曲面上的流量.因为小曲面很小,可以把它看成是一个小平面,所以法方向为在其上不变.同样因为小曲面很小,所以也可以认为流速为在其上不变.因为流量只与在法方向上的分量和小曲面面积有关,所以该小曲面上的流量就是,从而整个曲面上的流量就是.(2) 曲面面积微元向量的分析我们将上面公式中的向量称为是曲面面积微元向量,它的大小是,方向是.要计算第二型曲面积分,我们得把它研究清楚.记,则.其中”称为外乘.我们就拿上面的来分析,其它两个类似.回顾到前面我们在第一型曲面积分微元公式得到的一个结果,那么我们有,当是锐角是取(曲面取上侧),是钝角是取(曲面取下侧).注:这里为了方便说明,我们约定一个直角坐标系的方位讲法,轴正向是向上,负向向下,类似轴正向向前,负向向后,轴正向向右,负向向左.那么当是锐角时,我们就说曲面取上侧,而当是钝角时,我们就说曲面取下侧,其它类似.对于我们可做类似分析.(3)第二型曲面积分的计算 记,则. 我们以来说明第二型曲面积分的计算方法.设,取上侧,那么,利用曲面方程将表示成的函数带入积分得,即把第二型曲面积分化为一个二重积分来计算,其中变化范围是曲面在平面上的投影区域.对于和可做类似讨论.注:这里对第二型曲面积分的计算是基于对其面积微元向量的认识的一个方法,也是最基本的方法.当然常用的计算方法还有利用Gauss公式来计算或者化为第一型曲面积分来计算.YM, M