勾股定理 复习课.doc

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理复习课【课程标准解读】掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及其判断三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题、综合题均有，常与直角三角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查。【知识要点解析】1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，则，）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题【变式训练】（2013山东滨州，14，4分）在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，则边AC的长为_【答案】：x=【解析】利用勾股定理，可得【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即可.2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2c2；若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b20，x0，2ax0，a2+b2c2 当ABC是钝角三角形时，如图18-4，过点B作BDAC，交AC的延长线于点D，设CD为x，则BD2=a2-x2 根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2 即b2+2bx+x2+a2-x2=c2a2+b2+2bx=c2b0，x0，2bx0，a2+b2c2【点评】本题考查了勾股定理的运用通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键例题3.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积【答案】：6【解答】【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积.题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形【例题1】.已知三角形的三边长为，判定是否为，解：，是直角三角形且，不是直角三角形例题2.三边长为，满足，的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角形【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例题5.已知ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断ABC的形状【点拨】：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论【解答】：，或当时，有由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形综上，ABC是直角三角形或等腰三角形【点拨】：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性例题6.若ABC的三边满足条件，试判断ABC的形状解：，a=5，b=12，c=13，ABC是直角三角形【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变形的过程中不要改变式子的值题型六：平面展开问题探求最短路径问题例题1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_ 【】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+（2+3）32=252，解得x=25故答案为25【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。例题3.（2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC 6cm，点是母线上一点且一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） A（）cm B5cm Ccm D7cm【分析】：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长在RtACP中，AC，4cm，所以【解答】：B【点评】：解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题题型七：关于勾股定理运用中的折叠问题例题1已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长【答案】EC为3cm.【解答】：连结AE，则ADEAFE，所以AF=AD=10，DE=EF设CE=x，则EF=DE=8-x，BF =6，CF=4在RtCEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3【点评】通过折叠的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键要求CE的长，就必须求出DE的长，如果设EC=x，那么我们可将DE，EC转化到一个三角形中进行计算，根据折叠的性质我们可得出AD=AF，DE=EF，那么DE，CE就都转化到直角三角形EFC中了，下面的关键就是求出FC的长，也就必须求出BF的长，我们发现直角三角形ABF中，已知了AB的长，AF=AD=10，因此可求出BF的长，也就有了CF的长，在直角三角形EFC中，可用勾股定理，得出关于x的一元二次方程，进而求出未知数的值例题2、如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）A B C D 【答案】【解答】【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，在解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数例题3. （2011四川省宜宾市，7，3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3 B.4 C.5 D.6(7题图)【答案】选D【解答】解：四边形ABCD是矩形，AD=8，BC=8，AEF是AEB翻折而成，BE=EF=3，AB=AF，CEF是直角三角形，CE=8-3=5，在RtCEF中，CF= = =4，设AB=x，在RtABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在ABC中利用勾股定理即可求出AB的长例题3.（2011安顺）如图，在RtABC中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是6cm2【答案】：为6cm2【解答】解：C=90，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，DC=DC，BC=BC=6cm，AC=4cm，设DC=xcm，则AD=（8x）cm，在RtADC中，AD2=AC2+CD2，即（8x）2=x2+42，解得x=3，ADC的面