李舜--浅谈函数中任意性与存在性的问题分类.doc

浅谈函数中任意性与存在性的问题分类李舜摘要：函数中的“任意性”与“存在性”问题，是高中数学常见又典型的热点与考点，两者既有区别又有联系，经常与函数导数、方程、不等式等知识点相结合。本文整理了这类问题的八种典型类型，把不等关系或相等关系转化为函数的值域或最值问题来讨论，并结合实例进行分析。关键词：函数 任意性 存在性 值域函数的“任意性”与“存在性”问题，是高中数学常见的一个知识点，也是近几年高考的热点与考点。此类问题经常与函数导数、方程、不等式等相结合，考查学生分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想，综合性强，题型灵活多变。可有单函数、单变量问题；双函数、单变量问题；双函数、双变量问题等。对于这类问题，可利用函数导数的相关知识，借助图像理解，把不等关系或相等关系转化为函数的值域或最值问题来讨论。对这类问题的研究，笔者整理了八种典型的类型，并结合实例进行辨析，供参考。类型一：若有恒成立；若有恒成立这种类型属于单函数、单变量问题，在平时的解题中经常遇到，属于常见题型，一般可以用参变分离的方法来做。对f(x)进行求导，解得最值。例1.已知两函数，对任意，都有成立，求实数的取值范围.分析：本题对于形如的问题，有两种方法：第一，可以先构造函数，再转化为；第二，可以利用参变分离来做。解析：设，问题转化为时，恒成立，故只需。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得.类型二：若有成立；若有成立这种类型也属于单函数、单变量问题，与类型一具有可比性，也是常见题型，可以采用参变分离的方法，对f(x)进行求导，解得函数的最值。例2.已知两函数，存在，使成立，求实数的取值范围.分析：对于本题形如的研究，可以构造函数，再等价为.解析：据题意，存在，使成立，即为：在有解，故只需，由例1知，于是得.类型三：若，都有这种类型是双变量、双函数问题，学生一开始接触的时候会比较茫然，此时可以画出函数图像进行引导，利用数形结合的思想，得出解题思路。例3.已知两函数，对，都有，求实数的取值范围.分析：它与例1虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在各自定义域上具有任意性，因此要使不等式恒成立的充要条件是：.解析：,，,，即.类型四：若，使得有了以上三种类型的分析与探讨，则第四种类型也变得容易理解。同样地可以利用函数图像进行分析，对图像位置进行平移，得出临界条件。例4.已知两函数，,使得，求实数的取值范围.分析：，,使得，只需的最小值不大于的最大值.解析：由例3得，在定义域内，因此只需，即，.类型五：若，使得例5.已知两函数，,使得，求实数的取值范围. 解析：由例3得，在定义域内，因此只需，即，.类型六：若，使得例6.已知两函数，对,使得，求实数的取值范围. 解析：由例3得，在定义域内，因此只需，即，.类型七：若，使得的值域与的值域交集非空.例7.已知两函数，,使得，求实数的取值范围. 解析：由例3得，在定义域内，因此只需的值域与的值域交集非空。我们可以利用补集的思想，先算两值域交集为空集时的情况，再求其补集即可。即或，解得或，所以本题答案为.类型八：若，使得的值域是的值域的子集.例8.已知两函数，若对于，总,使得成立，求实数的取值范围.解析：由例3得，在定义域内，因此只需的值域是的值域的子集。因此只需满足，解得.由上述例题可以看出，此类型题含有两个函数，两个变量，且两个变量没有关联，在各自的区间内取值具有任意性。任意性与存在性的综合问题成题形式多变，如果一味拘泥于结论，则会让思维僵化。解题时应灵活运用数形结合的思想，转化为函数最值或值域问题加以解决。其中，求函数最值或值域的方法多样，可涉及函数导数、分离常数、分类讨论、数形结合等多种手段与思想，对学生的能力是一种极好的考察。特别声明，本文所阐述的类型结论都是在默认最值存在的前提之下，当给定区间为非闭区间或函数非连续时，其最值可能无法去到，此时须确定其上或下确界，并考虑等号能否取得。参考文献：傅建红，聚焦函数中的任意性与存在性问题，高中数学教与学，第3期本论文是李舜老师在任现职期间所写，字数约在1700字以上，已于2016年 11月18日在学校组织的数学组教学研讨会上进行公开宣读，