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2020 2 21 1 搭积木问题 将一块积木作为基础 在它上面叠放其他积木 问上下积木之间的 向右前伸 可以达到多少 2020 2 21 2 这个问题涉计到重心的概念 模型准备 2020 2 21 3 关于重心的结果有 设xoy平面上有n个质点 它们的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 xn yn 对应的质量分别为m1 m2 mn 则该质点系的重心坐标满足关系式 2020 2 21 4 模型假设 所有积木的长度和重量均为一个单位参与叠放的积木有足够多每块积木的密度都是均匀的 密度系数相同最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上 2020 2 21 5 模型构成 1 考虑两块积木的叠放情况 对只有两块积木的叠放 注意到 此时使叠放后的积木平衡主要取决于上面的积木 而下面的积木只起到支撑作用 假设在叠放平衡的前提下 上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为x 上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x 1 2 因为积木的长度是1 于是 上面的积木可以向右前伸的最大距离为1 2 2020 2 21 6 模型构成 2 考虑n块积木的叠放情况 为有利于问题的讨论 我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再移动它们之间的相对位置 而把增加的积木插入在最底下的积木下方 于是 我们的问题又归结为两块积木的叠放问题 不过 这次是质量不同的两块积木叠放问题 这个处理可以推广到n 1块积木的叠放问题 即假设已经叠放好n n 1 块积木后 再加一块积木的怎样叠放问题 2020 2 21 7 下面我们就n 1 n 1 块积木的叠放问题来讨论 假设增加的一块积木插入最底层积木后 我们选择这底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系 见图 考虑上面的n块积木的重心关系 我们把上面的n块积木分成两部分 1 从最高层开始的前n 1块积木 记它们的水平重心为x1 总质量为n 12 与最底层积木相连的第n块积木 记它的水平重心为x2 质量为1 2020 2 21 8 把上面的n块积木看作一个整体 并记它的重心水平坐标 显然n块积木的质量为n 在保证平衡的前提下 上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端 即有 0 假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z 同样在保证平衡的前提下 从最高层开始的前n 1块积木的总重心的水平坐标为z 即有x1 z 而第n块积木的水平重心在距第n块积木左端的处 于是在图1 5的坐标系下 有第n块积木的水平重心坐标为x2 由重心的关系 有 2020 2 21 9 设从第n 1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为 则有 说明随着积木数量的无限增加 最顶层的积木可以前伸到无限远的地方 本题给出的启示当
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