20110929四中董嵩-锐角三角函数教材分析(印刷版).doc

锐角三角函数教材分析北京四中 董嵩2011.09.29一、内容分析本章“锐角三角函数”属于三角学，是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容从数学课程标准看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形以及三角函数法在解相关的综合题中的运用（意识）锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的后的三角函数解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和 “相似”两章有着密切关系锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不开锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角， 函数值是直角三角形中边长的比值学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方法认识得更深入二、考试要求锐角三角函数了解锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；知道，角的三角函数值由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有，角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题三、课时安排28.1（5课时）三种三角函数的概念 2课时，角的三角函数值 1课时，角的三角函数值在几何计算题中的运用 1课时求同角的三角函数值 1课时28.2（6课时）解直角三角形 1课时解组合图形及实际应用 3课时锐角三角函数的综合运用 2课时四、教学建议【第一部分】锐角三角函数1锐角三角函数的概念教学的引入和引申（1）【方案一】提出问题：含30、45角的直角三角形中边与角之间有确定的对应关系，对于一般的直角三角形，边与角之间是否也有确定的对应关系？（2）【方案二】实际问题：如何测量旗杆的长度？（3）如何理解sin、cos和tan的概念？（4）根据学生的实际能力水平，编写“进阶练习”一方面复习、巩固锐角三角函数的概念，熟练掌握知识并形成技能；另一方面，通过练习让学生学会观察、归纳、分析，发现量与量之间的关系，从而顺利地提出“同角的三角函数关系”和“余角的三角函数关系”等问题，并进行讨论和研究2在解题教学的过程中，要始终围绕“锐角三角函数的概念及基本关系式”进行学法指导，逐步达到以下教学要求【基本要求】（1）根据已知条件，能求出直角三角形某一锐角的三角函数值例1（2011 浙江湖州）如图，已知在RtABC中， C90，BC1，AC=2，则tanA的值为（ ）A2 B C D【答案】B例2（2011四川乐山）如图，在44的正方形网格中，tan=（ ）A1 B2 C D【答案】B（2）已知一个锐角的三角函数值，能根据锐角三角函数的定义，求出同角（或等角）的其它两个三角函数值或这个角（3）已知一个锐角的三角函数值，能根据余角三角函数关系，进行三角式的转化（变为余角的余函数，现在主要是正弦和余弦的转化）例3已知，则 ， ， 已知，则 ， 【答案】，；，（4）能利用三角函数的定义建立比例式，进行推理和计算例4（2011山东日照）在RtABC中，C=90，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA=则下列关系式中不成立的是（ ）（A）tanAcotA=1 （B）sinA=tanAcosA （C）cosA=cotAsinA （D）tan2A+cot2A=1【答案】D例5如图，矩形ABCD中，ADAB，AB=a，作AE交BD于E，且AE=AB试用a与表示：AD= 【答案】，（5）能对一些函数三角函数的简单式子（含特殊角的三角函数值）进行化简例6（2011安徽芜湖）计算：【答案】【较高要求】（6）能构造直角三角形，求锐角三角函数值例7（20011江苏镇江）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D若AC=，BC=2，则sinACD的值为（ ）A B C D答案【 A】例8（2011湖北荆州）在ABC中，A120，AB4，AC2，则的值是（ ）ABCD【答案】D（7）了解用“三角法”计算和证明几何题例9在中，已知，求的面积【答案】【结论】【进阶提高】例10已知，如图，D是中BC边的中点，求【方法】见比设k【答案】例11已知，如图，在菱形ABCD中，于点E，EC=1，求四边形ABCD的周长【答案】32例12已知，如图，中，求cosA及tanA【答案】，4探究活动【个案1】sin和cos有何区别及联系？【个案2】求15角的三角函数值.方法1以斜边为腰作等腰三角形，求“半角”的三角函数值方法2构造特殊角的“和角或差角”方法3用面积法求正弦值【个案3】sin2与sin之间有什么关系？深入认识倍角或半角三角函数关系【第二部分】解直角三角形1创设实际情境引出课题如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟求小山高及A、B两点的水平距离2“解直角三角形”的基本功（1）如图，在Rt中，则有， ；， （2）直角三角形的可解条件和基本类型已知条件解法一条边和一个锐角斜边c和锐角A，直角边a和锐角A，两条边两条直角边a和b，由求，直角边a和斜边c，由求，3重视数形结合、转化等数学思想方法的运用在解直角三角形的教学中，应指导学生结合图形弄清各相关元素之间的位置关系与数量关系的转化，从而建立直角三角形的的边、角之间的相等关系这是数形结合思想的体现与运用如果已知量中不是直角三角形的基本元素，那么就要根据这些已知量和基本元素之间的关系，设法把这类问题转化为解直角三角形的基本类型，从而解出原三角形例1如图，在RtABC中，C=90（1）a=2，b=，解（2）在RtABC中，a=2，c=，解（3）在RtABC中，A=30，a=，解（4）在RtABC中，A=30，b=2，解（5）在RtABC中，C=90，sinA=，b=2，求c的值（）（6）在RtABC中，C=90，tanA=，SABC=2，求c的值（）例2已知，如图，Rt中，于D（1）若，解（2）若，解（3）若，求（4）如图，在ABC中，CDAC于D，sinA=，tanB=3， AB=2，求BC的长（）（5）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D， sinBCD=，CB=4，求AC的长（）例3如图，在Rt中，C=90，D是BC边的中点，DEAB于E，tanB=，AE=7，求DE（）例4已知，如图，Rt中，D是BC上一点（1）B=30，BDA=135，BD=3，求AB的长（）（2）BC=6，BC边上的中线AD=5，求斜边AB的长（）（3），求AC4通过解决与测量有关的简单实际问题，学会把实际问题转化为数学问题（解直接三角形问题），提高综合运用所学知识解决问题的能力和“用数学”的意识（1）准确理解有关测量问题的一些概念：仰角，俯角，坡角，坡度，方向角等（2）掌握运用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤及典型问题例5（1）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m【答案】4（2）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）A时B时 （1）题图 （2）题图例6（1）如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米【答案】（2）在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度（计算结果精确到0.1米， 参考数据：，）【答案】15.1 （1）题图 （2）题图例7（1）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若忽略小明的身高，则乙楼的高度是 米【答案】60（2）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（，在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【答案】 （1）题图 （2）题图例8某片绿地的形状如图所示，其中，m，m，求AD和BC的长（精确到1m，）（m，m） 例8图 例9图例9如图，挂着“我爱学数学”条幅的氢气球生在学校操场上空已知气球的直径为4m，在地面A点测得气球中心O的仰角，测得气球的视角（AB、AC为圆O的切线，B、C为切点），则气球中心O离地面的高度OD为（ ）（精确到1m，参考数据：，）A94m B95m C99m D105m例10如图，不透明圆锥体放在水平面上，在处灯光照射下形成影子设过底面的圆心，已知圆锥的高为，底面半径为，（1）求的度数；（2）若，求光源距水平面的高度（答案用含根号的式子表示）5专题讲解，加深知识间的联系，提升对知识的理解【问题一】勾股定理的一般形式余弦定理在中，求BC的长思考与研究：（1）在中，若，求BC的长（2）在中，若，求BC的长（3）在中，若，求AC的长（4）总结、归纳两个基本图形中，边、角之间的基本关系式【问题二】将一般的图形计算问题转化为解直角三角形，使得问题得以解决例1已知，如图，中，于E，点D分AC的比，求AE的长例2在梯形ABCD中，E是AC边上一点，且，求BE的长【答案】1.5例3四边形ABCD中，四边形ABCD的面积为，求的度数【答案】30ABOHCl【问题三】圆中的锐角三角函数例1（2010年浙江）如图，直线l与O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H ，已知AB=16cm，（1）求O的半径；（2）如果要将直线l向下平移到与O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由例2（1）如左图，C、D是半圆O上两点，求和 （2）如右图，若AC、BD的延长线交于点E，求和 【问题四】从射影定理看“勾股定理、相似和三角函数”三者之间的内在联系如图，在中，于D，则有：（1）；（2）；（3）【问题五】要培养学生用“三角法”解决问题的意识例1如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，于点E，于F，求的值6综合问题例1如图，在梯形ABCD中，AB/DC，BCD=90，且AB=1，BC=2，tanADC=2（1）求证：DC=BC；（2）点E、F分别在梯形的内、外，且EDC=FBC，DE=BF，试判断ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，BEC=135时，求sinBFE的值【答案】）（1）略；（2）等腰直角三角形；（3）例2如图，AB为O的直径，弦CDAB于点M，过点B作BECD，交AC的延长线于点E，连结BC（1）求证：BE为O的切线；（2）如果CD6，tanBCD，求O的直径【答案】（1）略；（2） 例3如图，ABC中，BC=AC=10，AB=12，以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC于F，交CB的延长线于E（1）求证：直线EF是O的切线；（2）求【答案】（1）略；（2）例4在RtABC中，ACB90，A30，BC=，动点O在AC 边上，以点O为圆心，OA长为半径的O分别交AB、AC于点D、E，连结CD（1）如图1，若点D为AB边的中点，判断直线CD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当ACD15时，请你求出此时弦AD的长 图1 图2【答案】（1）相切；（2）例5已知：如图，BC为半圆0的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE=BE（1）求证：；（2）若，求AD的长【答案】8 例6如图，等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作O交BC于点D，交AB于点G，过点D作O的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F（1）求证：EFAB；（2）求cosF的值 【答案】例7已知O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作O的切线交y轴于点A（如图）（1）求O的半径；（2）求sinHAO的值；（3）如图（2），设O与y轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连结并延长DE、DF交O于点B、C，直线BC交y轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sinCGO的大小怎样变化？请说明理由图（1）HA(4,3)xyOD图（2）CBPGEFD(4,3)Oxy【答案】（1）；（2）；（3）不变，7中考新题例1（2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于A B C DBACDE【答案】B例2（2011四川内江）如图，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60，BD=4，CE=，则ABC的面积为（ ）AB15CD【答案】C例