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集合（数学竞赛讲稿） 袁 坚第一讲： 集 合 集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1 集合的概念 集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1） 确定性 设是一个给定的集合，是某一具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两者必居其一，即与仅有一种情况成立。（2） 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素.（3） 无序性2 集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：应熟记。3 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4 子集、真子集及相等集（1）或；（2）且；（3）且。5 一个阶集合（即由个元素组成的集合）有个不同的子集，其中有1个非空子集，也有1个真子集。6 集合的交、并、补运算=且=或且要掌握有关集合的几个运算律：（1） 交换律 ，；（2） 结合律（）（）， （）()；（3） 分配律 （）（）（） （） () （）（4）01律 ， ， （5）等幂律 ，（6）吸收律 ()，（）（7）求补律 ，（8）反演律 7 有限集合所含元素个数的几个简单性质 设表示集合所含元素的个数 （1） 当时，（2） 8 映射、一一映射、逆映射（1） 映射 设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合到集合的映射，记作：。上述映射定义中的、，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和中元素对应的中的元素叫做（在下）的象，叫做的原象。中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。（2） 一一映射 设、是两个集合，：是从集合到集合的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，且中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射。（3） 逆映射 设：是集合到集合上的一一映射，如果对于中的每一个元素，使在中的原象和它对应，这样所得映射叫做映射：的逆映射，记作：。注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解题指导元素与集合的关系1 设|,，求证：（1）()；（2）分析：如果集合|具有性质，那么判断对象是否是集合的元素的基本方法就是检验是否具有性质。解：（1）,且,故；（2）假设，则存在，使即 (*)由于与具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，。2 设集合（3，2）。已知，,判断与集合的关系。分析：解决本题的关键在于由已知条件确定的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定的范围。解：因为且，所以由此及得=3,从而=2.所以3,即。3 以某些整数为元素的集合具有下列性质：中的元素有正数，有负数；中的元素有奇数,有偶数；1；若，,则试判断实数0和2与集合的关系。解：由若，,则可知，若，则（1） 由可设，且0，0，则| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，则中的负数全为偶数，不然的话，当（）（）时，1（），与矛盾。于是，由知中必有正奇数。设，我们取适当正整数，使，则负奇数。前后矛盾。4 设为满足下列条件的有理数的集合：若，则+，；对任一个有理数，三个关系，0有且仅有一个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的，0,由知，或之一成立。再由，若，则；若，则。总之，。取=1，则1。再由，2=1+1，3=1+2，可知全体正整数都属于。设，由，又由前证知，所以。因此，含有全体正有理数。再由知，0及全体负有理数不属于。即是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。5 设函数，集合，。（1） 证明：；（2） 当时，求。（3） 当只有一个元素时，求证：解：（1）设任意，则.而故,所以.（2） 因，所以 解得故 。由得解得 。6为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1） 证明：三个集合中至少有两个相等。（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若，则所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设中的最小正元素为，不妨设，设为中最小的非负元素，不妨设则。若0,则0，与的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇数，=偶数显然满足条件，和与都无公共元素。7已知集合：问（1） 当取何值时，为含有两个元素的集合？（2） 当取何值时，为含有三个元素的集合？解：=。与分别为方程组（） （）的解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有两个元素的情况只有两种可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1时，恰有两个元素。（2） 使恰有三个元素的情况是：= 解得，故当时，恰有三个元素。8 设且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，1，2，3，的任何元素必属于且只属于它的真子集之一。 假设结论不真，则存在如题设的1，2，3，的真子集，使得无论是还是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。 不妨设1，则3，否则1+3=，与假设矛盾，所以3。同样6，所以6，这时10，即10。因15，而15或者在中，或者在中，但当15时，因1，1+15=，矛盾；当15时，因10，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。第二讲 映射与函数知识要点1 映射有关概念2 函数定义，定义域、值域能力训练1 合的并集，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数为（ ）（1993年全国高中数学联赛试题）（A） 8 （B） 9 （C）26 （D）27解法一：若，则满足题意的有：即这时的配对个数有：；仿此，若（或），满足题意的的个数，即配对个数有：；于是，全部配对个数有：。解法二：且的情形只有1个配对：，而的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D）。评注：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。2 设=，（1） 写出一个：，使得为单射，并求所有到的单射的个数。（2） 写出一个：，使得不是单射，并求所有这些映射的个数。（3） 到的映射能否是满射？解：（1）作映射：，使得则此映射即为到的一个单射，这种单射的个数为。（2）作映射：，可以先求到的映射的个数：分四步确定的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为个，因此满足条件的映射的个数为=505。（3） 不能。由于中的每一个元素恰与中的一个元素对应，|=4，|=5，所以中至少有一个元素在中找不到与它对应的元素，因此到的满射不存在。说明：一般地，若到有一个单射，则|，若到有一个满射， 则|,若到有一个一一映射,则|=|思考：在上述问题中,如何求从到的子集上的一一映射的个数?中的4个元素的子集共有个，从到的每4个元素的子集上的一一映射各有个，所求的映射的个数是=120个。3 若函数的值域为，则实数的取值范围是_。（94年第5届“希望杯”全国数学邀请赛）解法一：根据函数值域定义，对于任意实数，关于的方程即恒有解，因此（*） 恒成立，（*）式成立的充要条件是，解得或。解法二：根据对数函数和二次函数的性质，的最小值不在于0，即解得或。评注：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的性质获得思路。4 对实数，求函数的最大值。（96年美国中学数学竞赛题）解法一：的定义域为6，8，当时，；，当时，从而当时有最大值。解法二：定义域为6，8，令，。， （1）。，代入（1）得：，易知，（1），当时（1）、（2）同时取等号。故有最大值。解法三：的定义域为6，8，在6，8上是减函数，从而当时有最大值。评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若，同时在处取得最大值，则在处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若在闭区间a,b上为单调函数，则在端点处取得最值”。5 设集合9, N,.定义到的映射：（。若都是中的元素，且满足：（ ）39，（66。求的值。解：由题意得 （1） （2）（1）+（2），（2）（1）得 （3） （4）由于09，18，09，18，所以由（3）、（4）可得 =7，=15，=3，=9 解得 6 已知函数的定义域为1，1，求的定义域，其中0。解：的定义域应是下列两个集合的交集： 1=, 1=,当1时，, 所以当01时, ，所以因此，的定义域为,（01；,（当1时）第三讲 函数的图象与性质知识要点：1. 函数的图象：坐标为的点的集合称为函数的图象，其中是函数的定义域。2. 图象变换：平移变换、对称变换3. 函数性质：奇偶性、单调性、周期性周期性：对于函数，如果存在一个不为零的正数，使得当取定义域中的每一个数时，总成立，那么称函数为周期函数，正数称为这个周期函数的周期，如果所有周期中存在最小值，称为该函数的最小正周期。能力训练3 作出下列函数的图象：（1）解：（1）先作出的图象，然后将此图象在轴下方的部分对称地翻折到轴的上方即可。（2）因是偶函数，其图象关于轴对称，于是我们先作出在0时的图象，然后作出它关于轴对称图形即可。4 为何实数时,方程有四个互不相等的实数根。解：将原方程变形为，设，作出其图象，而是一条平行于轴的直线，原方程有四个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知，即5 已知（a、b；实数）且，则的值是 （ ）（1993年全国高中数学联赛试题）（A） （B） （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值解：是奇函数的和，为奇函数，从而即，选（C）。6 设函数对任一实数满足：且。求证：的根在区间上至少有13个，且是以10为周期的周期函数。证明：由题设知，函数图象关于直线和对称，所以，于是在上至少有两个根。 另一方面，有,所以是以10为周期的周期函数，因此的根在区间上至少有个要。评述：设函数的定义域为，若对任意的，都有（为常数），则函数图象关于直线对称。7 函数定义在整个实数轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1） 证明：方程恰有一个解，（2） 试举一个具有上述性质的函数的例子。解：（1）设，则（0，）是函数的图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转角为，得到的点（0，），仍在的图象上，所以，=于是=0，即0。也就是说=0是方程的一个解。 另一方面,设=是方程=的一个解,即=，因此点 （，）在函数的图象上，它绕原点旋转三个后得到（，）,且此点也在的图象上,所以=,=0.从上面的讨论可知,方程恰有一个解=0。（2） 构造函数如下： 第四讲 二 次 函 数二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧二次函数的主要性质：定义域为；图象是对称轴平行于轴（或与轴重合）的抛物线；当0时，抛物线开口向上方，函数的值域是，当（,）时,是减函数,当,时，是增函数；当0时，抛物线开口向下方，函数的值域是，当（,）时,是增函数,当,）时，是减函数当0时，函数的图象与轴有两个不同的交点，它们分别是（），（）；=0时，函数的图象与轴有两个重合的交点（,0）,这时也称抛物线与轴相切, 0时,函数的图象与轴没有交点函数的图象是连续的一个有用的结论是，在区间端点处的函数值异号，即0时,方程=0在（）内恰有一个实根抛物线的凸性也有一定用途，0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意，有；0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意，有利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式一 含有参变数的二次函数对于二次函数，当、固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若、固定时，可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于、的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了例题分析：1 集合=，=，求实数的取值集合解：、分别表示函数与函数的值域由3知=3，）而受参数的影响，要进行讨论=0时，值域是符合条件0时，=是二次函数，如果0，该函数的值域为，这时不成立如果0时，由3，,得 01综上所述, 的可取值集合为|01。说明：参数的取值决定了函数=的类别及性质，因而对该函数的值域有影响为了由求出的允许值范围，必须对参数分情况讨论2 考察所有可能的这样抛物线，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆证明：所有这些圆周经过一定点证明：设抛物线与轴的交点为（，0）、（，0）由韦达定理知0 (因为=0,则与坐标轴只有两个不同的交点),故点（，0）、（，0）在坐标原点的两侧又因为，由相交弦定理的逆定理知，点（，0）、（，0）、（0，），（0，1）在同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的三个交点（，0）、（，0）、（0，）的圆一定过定点（0，1）于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1）3 抛物线的顶点位于区域内部或边界上，求、的取值范围解：抛物线的顶点坐标为（），故 ，上式即为、的取值范围二 二次函数的最值4 设=时，二次函数有最大值5，二次函数的最小值为2，且0， +=,=25求的解析式和值解：由题设=5，=25，=，所以 =30，解得 =1 （= 17舍去）由于在=1时有最大值5，故设 =所以 =，因的最小值为2，故,所以从而=5 已知01, =,的最小值为（1） 用表示；（2）求的最大值及此时的值解：（1）把改写成=于是知是顶点为（），开口向上的抛物线又因为0,1,故当01，即02时，的最小值为；当1,即2时，有最小值于是（2）当2时，的值小于0，而当02时，=，它的最大值为（当=1时取得），故的最大值为，此时=1说明：对于某些在给定区间上的二次函数最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑6 函数=，,1,该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值分析：限定在区间,1上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况当可取任意实数时，二次函数的图象是对称轴为开口向下的抛物线，与区间,1的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分区间讨论当,1,即时,最大值应是由=25, 2=,不符合的条件可见当1,即时，函数=，,1是增函数，可见，解之得=或=其中=不合的条件，舍去可见1=1=当，即时,函数=是,1是减函数,可见,解之得=或=其中=不合的条件,舍去,由此知= 综上所述,当=或=时, 函数有最大值25说明：由点与区间,1的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用本题中虽然只是求函数取最大值时的自变量的值，没有问的值，但这个值与值有直接关系，所以要先求再求7 一幢（2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳1个人，现有1个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的电梯只能停一次停在任意选择的一层而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？解：设电梯停在第层，则不满意的总分为=（122）2（12）=,所以当=时，最小，其中表示最接近于的整数例如,故当电梯停在时，不满意总分最小三 利用二次函数的性质8 已知方程，其中1，证明：方程的正根比1小，负根比 1大证明：原方程整理后，得=0，令=，则是开口向上的抛物线，且，故此二次函数=0有一个正根，一个负根要证明正根比1小，只须证，要证明负根比 1大，只须证0因为 从而命题得证9 若抛物线与连接两点（0，1），（2，3）的线段（包括、两点）有两个相异的交点，求的取值范围解：易知过两点（0，1）、（2，3）的直线方程为，而抛物线与线段有两个交点就是方程在区间0，2上有两个有两个不等的实根令则 解得的范围为1说明：利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段10 设，又设是关于的不等式组的解集，试确定的取值范围，使得分析：本题以二次曲线为背景，它的通法是先求不等式组的解集，然后再来考虑与的包含关系，则必然导致浩繁的讨论，但如果由数想形，构造函数，就可简捷获解解：设要使时，则必使在1，3上的函数图象落在轴下方，即； 设一元二次方程的两个实根为，且结论1, 或结论2, 或结论30结论4=0, 0；0, 0 设一元二次方程的两个实根为，且，为实常数结论1； 结论2结论3； 结论4有且仅有结论5结论611 设2，且，证明：证明：令,则原不等式为,即=0，令=,则只需证明0因，而，所以,从而0，与轴有两个不同的交点易知这两个交点为，下证 ，只需证,即,由于，所以，从而必有0解法二：只需证明0，而，因此只需证而，由可证得说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化12 在边长为10的正三角形中，以如图所示的方式内接两个正方形（甲、乙两个正方形有一边相重叠，都有一边落在上，甲有一顶点在上，乙有一顶点在上），试求这样内接的两个正方形面积和的最小值解：设甲、乙两正方形的边长分别为，易知边上的四条线段之和为： ，记，则，设两正方形面积之和为，则有，当时，取得最小值，其最小值是13 定义在上的奇函数，当0时，=另一个函数=的定义域为,值域为,其中,、0在,上, =问:是否存在实数,使集合恰含有两个元素?分析：是以轴为对称轴由=的图象平移所形成的抛物线系对给定的它表示一条抛物线，条件恰含有两个元素的意思是函数=，,的图象与抛物线恰有两个交点首先要弄清楚=，,，进而作出它的图象容易求出奇函数=在0时的解析式是=即 =函数=的定义域为,值域为,其中,、0，这表明 可见、同号也就是说=，,的图象在第一或第三象限内根据=（,以及的图象可知，函数的图象如所示曲线的一部分 值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关如果只考虑02或20两种情况，不能准确地用,、表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（2，0）再分细一些，由图中看出，当、0时，考虑以下三种情况较好01，01，12如果01，那么1但是（0，1时，1,这与的值域区间的右端点大于1矛盾可见不出现01的情形如果12，由图看出是减函数，可见整理得 ，考虑到12的条件，解之得完全类似地，考虑到10，210，21三种情况后,可以在21的情况下通过值域条件得出 ，这就得到了函数对于某个，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限因此，应当使方程，在1，内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根问题归结为求，使由（1）得，方程在内恰有一根，设，则即，由（2）得，即，2易证，抛物线与函数图象恰有两个交点（1,1）和（ 综上所述：题目条件下的实数2说明：解题过程可分为“求函数”，“求函数”，“求”三个阶段求函数的关键步骤是求的值运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程，最终把求的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题 可以看出，当(2,0)时,抛物线与函数的图象在第一象限内有一个交点,当时,在第三象限内有一个交点函数与方程例1：填空（1） 若二次函数满足且有实根，则。（2） 设函数的图象关于直线对称，若当1时，则当时，y= 。（3） 若函数与函数的图象有公共点，则a的取值范围是 。（4） 已知函数的图象与轴交于A、B两点，若线段AB的长不超过5，则a的取值范围是 。例2：方程的两根都大于2，求实数a的取值范围。例3：已知关于的方程 两个实根分别在（0，1）与（-1，0）之间，试求实数k的取值范围。例4：已知方程的两个实根绝对值之和为2，求实数m的值。例5：m取何值时，关于x的方程有实数解？例6：已知关于的方程有两个不相等的实根，求a的取值范围，并求出两根。例7：已知抛物线的顶点（-1，10），并且方程的两实根的平方和等于12，求a、b、c的值。例8：已知函数的定义域为R，求关于x的方程的解的范围。例9：当0m2时，求方程的实根的取值范围。例10：设，（a，bR），如果，确定a、b的取值范围。例11：设函数，若关于x的方程只有一解，求k的取值范围。例12：就实数t的变化，讨论关于x的方程的实根的个数。练习：1、 若二次方程的两根都大于1，求k的取值范围。2、 若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围。3、 已知抛物线的顶点（-2，5），一元二次方程的两根之差是3，求抛物线。4、 若不等式对于任何实数x都成立，求a的取值范围。5、 已知是方程的两个实根，且，求m的取值范围。6、 若方程有解，求a的取值范围。7、 解关于x的方程：，并讨论解的个数。8、 已知方程：，有正实根，求b的取值范围。函数的基本性质(一)基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄高中数学竞赛辅导、刘诗雄、罗增儒高中数学竞赛解题指导.例题：1. 已知f(x)82xx2，如果g(x)f(2x2)，那么g(x)( )A.在区间(2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C2. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x3)f(x)，当0x时，f(x)x，则f(2003)( )A.1B.0C.1D.2003解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为6f(2003)f(63351)f(1)f1选A3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150B.C.152D.提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于100150所有101个根的和为101.选B4. 实数x，y满足x22xsin(xy)1，则x19986sin5y_.解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(xsin(xy)2cos2(xy)0 xsin(xy) 且 cos(xy)0 xsin(xy)1 siny1 xsin(xy)1原式75. 已知x是方程x4bx2c0的根，b，c为整数，则bc_.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x x22x1999即 x2802x再平方得x4160x2640076x2即 x4236x264000 b236，c6400bc61646. 已知f(x)ax2bxc(a0)，f(x)0有实数根，且f(x)1在(0，1)内有两个实数根，求证：a4.证法一：由已知条件可得 b24ac0 fabc1 f(0)c1 01 b24ac b1ac c1 b0( a0)于是b2所以ac1b2 ()21 1于是12 a4证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，则f(x)a(xx1)(xx2) fa(1x1)(1x2)1 f(0)ax1x21由基本不等式x1(1x1)x2(1x2)(x1(1x1)x2(1x2)4()2 a2x1(1x1)x2(1x2)1 a216 a47. 已知f(x)x2axb(1x1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M.解：M|f(x)|maxmax|f|，|f(1)|，|f()|若|1 (对称轴不在定义域内部)则Mmax|f|，|f(1)|而f1ab f(1)1ab|f|f(1)|ff(1)|2|a|4则|f|和|f(1)|中至少有一个不小于2 M2|1Mmax|f|，|f(1)|，|f()| max|1ab|，|1ab|，|b| max|1ab|，|1ab|，|b|，|b| (|1ab|1ab|b|b|) (1ab)(1ab)(b)(b) 综上所述，原命题正确.8. 解方程:(x8)2001x20012x80解方程：解：原方程化为(x8)2001(x8)x2001x0 即(x8)2001(x8)(x)2001(x)构造函数f(x)x2001x原方程等价于f(x8)f(x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x8xx4为原方程的解两边取以2为底的对数得于是f(2x)f(x21)易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，所以：2xx21解得：x19. 设f(x)x4ax3bx2cxd，f1，f2，f3，求ff(0)的值.解：由已知，方程f(x)x已知有三个解，设第四个解为m，记 F(x)f(x)x(x1)(x2)(x3)(xm) f(x)(x1)(x2)(x3)(xm)xf6(4m)4f(0)6m ff(0)710. 设f(x)x44x3x25x2，当xR时，求证：|f(x)|证明：配方得：f(x)x2(x2)2(x1)2 x2(x2)2(x1)21 (x22x)2(x1)21 (x1)212(x1)21 (x1)42(x1)21(x1)21 (x1)4(x1)2 练习：1. 已知f(x)ax5bsin5x1，且f5，则f(1)( )A.3B.3C.5D.5解： fabsin5115 设f(1)absin5(1)1k相加：ff(1)25k f(1)k253选B2. 已知(3xy)2001x20014xy0，求4xy的值.解：构造函数f(x)x2001x，则f(3xy)f(x)0逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，所以3xyx4xy03. 解方程：ln(x)ln(2x)3x0解：构造函数f(x)ln(x)x则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)f(2x)f(2x)由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为x04. 若函数ylog3(x2axa)的值域为R，则实数a的取值范围是_.解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)x2axa的函数值应该能够取遍所有正数所以函数yg(x)的图象应该与x轴相交即0 a24a0a4或a0解法二：将原函数变形为x2axa3y0a24a43y0对一切yR恒成立则必须a24a0成立 a4或a05. 函数y的最小值是_.提示：利用两点间距离公式处理y表示动点P(x，0)到两定点A(2，1)和B(2，2)的距离之和当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|56. 已知f(x)ax2bxc，f(x)x的两根为x1，x2，a0，x1x2，若0tx1，试比较f(t)与x1的大小.解法一：设F(x)f(x)xax2(b1)xc， a(xx1)(xx2) f(x)a(xx1)(xx2)x作差：f(t)x1a(tx1)(tx2)tx1 (tx1)a(tx2)1 a(tx1)(tx2)又tx2t(x2x1)x1tx10 f(t)x10 f(t)x1解法二：同解法一得f(x)a(xx1)(xx2)x令g(x)a(xx2) a0，g(x)是增函数，且tx1 g(t)g(x1)a(x1x2)1另一方面：f(t)g(t)(tx1)t a(tx2)g(t)1 f(t)tx1t f(t)x17. f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，当0x1，0y1时.求证：存在实数x，y，使得|xyf(x)g(y)|证明：(正面下手不容易，可用反证法)若对任意的实数x，y，都有|xyf(x)g(y)|记|S(x，y)|xyf(x)g(y)|则|S(0，0)|，|S(0，1)|，|S(1，0)|，|S(1，1)|而S(0，0)f(0)g(0) S(0，1)f(0)g(1) S(1，0)f(1)g(0) S(1，1)1f(1)g(1) |S(0，0)|S(0，1)|S(1，0)|S(1，1)| |S(0，0)S(0，1)S(1，0)S(1，1)| 1矛盾！故原命题得证！8. 设a，b，cR，|x|1，f(x)ax2bxc，如果|f(x)|1，求证：|2axb|4.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题)fabcf(1)abcf(0)c aff(1)2f(0) bff(1) cf(0)|2axb|ff(1)2f(0)xff(1)| |(x)f(x)f(1)2xf(0)| |x|f|x|f(1)|2|x|f(0)| |x|x|2|x|接下来按x分别在区间1，(，0)，0，)，1讨论即可9. 已知函数f(x)x3xc定义在0，1上，x1，x20，1且x1x2.求证：|f(x1)f(x2)|2|x1x2|；求证：|f(x1)f(x2)|1.证明：|f(x1)f(x2)|x13x1x23x2|x1x2|x12x1x2x221|需证明|x12x1x2x221|2 x12x1x2x22(x10 1x12x1x2x22111112 式成立于是原不等式成立不妨设x2x1由 |f(x1)f(x2)|2|x1x2|若 x2x1(0，则立即有|f(x1)f(x2)|1成立.若1x2x1，则1(x2x1) 01(x2x1) (右边变为正数)下面我们证明|f(x1)f(x2)|2(1x2x1)注意到：f(0)ff(1)c|f(x1)f(x2)|f(x1)ff(0)f(x2)| |f(x1)f|f(0)f(x2)| 2(1x2)2(x20) (由) 2(1x2x1) 1综合，原命题得证.10. 已知f(x)ax2xa(1x1)若|a|1，求证：|f(x)|若f(x)max，求a的值.解：分析：首先设法去掉字母a，于是将a集中若a0，则f(x)x，当x1，1时，|f(x)|1成立若a0，f(x)a(x21)x |f(x)|a(x21)x| |a|x21|x| |x21|x| ( |a|1) 1|x2|x| (|x|)2 a0时，f(x)x1 a0 f(x)maxmaxf，f(1)，f()又f(1)1 f(x)maxf()a()2()a a2或a但此时要求顶点在区间1，1内，应舍去答案为2函数的基本性质(二)基础知识：函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.关于函数的周期性，请参考陕西师范大学高中数学竞赛辅导(刘诗雄主编)例题：1 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.2 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm)f(xm)令xmt，则xmt2m于是f(t2m)f(t)对于tR恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.3 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.4 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:4m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.5 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab)证明：不妨设ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b) f(2bx) f(b(xb) f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期6 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f