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1 自动控制原理 数学基础 拉普拉斯变换 2 附拉普拉斯变换 1 拉普拉斯变换的定义2 一些特殊函数的拉普拉斯变换3 拉普拉斯变换定理4 拉普拉斯变换反变换 3 1 拉普拉斯变换的定义 1 1复变量和复变函数一个复数包括实部和虚部 如果实部和虚部都是变量 则称其为复变量 在拉氏变换中 复变量用符号s表示 表示 一个复变函数F s 是s的函数 它具有实部和虚部 4 F s 的幅值为 如果在某一域内 复变函数F s 及其所有阶导数都存在 则称该复变函数F s 在该域内是解析的 一个复变函数F s 是解析的 当且仅当满足如下的柯西 黎曼条件 相角为 角度从实轴开始 沿逆时针计算 5 在s平面上 使函数F s 解析的点称为正常点 使F s 为非解析的点称为奇点使F s 及其导数趋于无穷大的奇点称为极点使F s 0的点叫做零点 且p1为2阶极点 极点为 例如 零点为 6 1 2拉普拉斯变换的定义 由拉氏变换F s 求时间函数f t 的反变换过程称为拉普拉斯反变换 定义为 其中常数c选择的比F s 的所有奇点的实部都大 若f t 是时间t的函数 且t 0时 f t 0 s是复变量则f t 的拉氏变换F s 定义为 7 2 一些特殊函数的拉普拉斯变换 8 3 拉氏变换性质 3 1实微分定理 设的拉氏变换为 9 3 2积分定理 3 3与相乘 不定积分 定积分 10 3 4延迟定理 3 5复微分定理 11 3 6卷积定理 3 7初值定理 3 8终值定理 卷积 若存在 12 4 拉普拉斯反变换 4 1求拉普拉斯变换的展开式 拉氏变换常以如下形式出现 如果F s 被分解成下列分量 并且F1 s F2 s Fn s 的拉普拉斯反变换可以容易得到 则 13 4 2只包含不同极点的部分分式展开 考虑下列因式形式的F s 如果F s 只包含不同的极点 则F s 可展开成为下列简单的部分分式之和 系数ak叫做极点s pk上的留数 留数ak可由下式决定 14 例 求函数F s 的拉氏逆变换 解 该式可以分解为如下形式 其中 15 所以 其对应的拉氏逆变换为 16 4 3包含多重极点的F s 部分展开 通过例子说明 F s 的部分展开式包括三项 式中b1 b2 b3
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