概率统计练习四——期望与方差.doc

概率统计练习四期望与方差1. 给出如下叙述：某座大桥一天经过的车辆数为；某无线电台一天收到的寻呼次数为；一天之内的温度为；一射手射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用表示射手一次射击中的得分.上述问题中的是离散型随机变量的是（ ）A.B.C.D.2. 设随机变量的分布列为，则a的值为（ ）A .1 B. C. D. 3. 设某批电子手表正品率为3/4，次品率为1/4，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则P(=3)等于（ ）A.；B. ；C. ；D. 410个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（ ）A BCD5. 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。需要从中取出2个正品，每次从中取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设为取出球的次数，则E 。6.某自然保护区内有n只大熊猫，从中捕捉t只体检后加上标志再放回保护区，一年后再从保护区捕捉m只大熊猫（设该区内大熊猫总数不变），则其中有s只大熊猫是第二次接受体检的概率为 .7. 某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株。现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）30,40)40,50)50,60)60,70)株数 4 18 x 6 则x的值为 ；若已知树干周长在30cm到40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直到找出患虫害的树木为止。则排查的树木恰好为2株的概率为 。若设需要排查的树木数为随机变量X，则X的分布列为 。8. 某人参加射击，击中目标的概率是. 设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；若他连续射击6次，设为他第一次击中目标时之前射击的次数，求的分布列；若只有6颗子弹，他击中目标，则不再射击，否则直到子弹打完，求他射击次数的分布列。9.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50，70，90记随机变量为获得k（k=1,2,3）等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求10袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.11.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03p 1p 2p 3p 4（）求q的值；（）求随机变量的数学期望E；（）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.12. 请用你学过的概率统计学知识阐述“标志重捕法”的根据. 【参考答案】1. B 2. C 3. C 4. C 5. 2，3，4. 则；。有E。6. 7. 【错解】易得；排查的树木恰好为2株的概率为； 由题意可得X=1，2，3. 计算可得，（只需查三次，若3次都没有虫害，第四株自然有虫害，不必再查了！）故分布列为：X123P1/41/41/4【错因】上述分布列显然有问题：概率之和不等于1. 其错误在于：认为事件“”的含义是“前两次未查处，第三次查出”。如何正确理解事件“”的确切含义是解题的关键！其含义应是：排查第三次无论是查出还是查不出，都有确定而明朗的结果了，故事件“”包括两种情况：“前两次未查处，第三次查出”和“三次都未查出”；因此有 故正确的分布列为：X123P1/41/41/28.【分析】从题目不同的叙述中仔细体会并鉴别不同特点的概率模型。【解答】射击一次就相当于“做一次试验”，这试验是可重复的，故随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，则，故的分布列为：0123456P设表示他前次未击中目标，而在第次射击时击中目标，则的取值为全体正整数1,2,3,则的分布列为1234 kP设=k1表示前k1次未击中目标，而第k次击中目标，的取值为0,1,2,3,4,5，当=6时，表示射击6次均未击中目标，则，而，的分布列为0123456P设，表示前次未击中，而第次击中，；而表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中，则, 故的分布列为：123456P【小结】上述第小题容易鉴别为n次独立重复试验（二项分布）模型，第小题则为项数无限的几何分布；而第小题都是项数有限的几何分布。对于后三小题，可以不必知道是几何分布，但是必须会从所设随机变量来仔细体会其含义，鉴别其属性，进而准确求出相应概率。9.【解答】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。（）由题意得的分布列为：507090p则=50+70+90=.（）由（）可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.由题意得（3，），则P（=2）=()2(1)=.10【解】(I) 设袋中原有个白球,由题意知可得或(舍去)即袋中原有3个白球.(II) 由题意,的可能取值为1,2,3,4,5，则所以的分布列为:12345（III）因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则11.【分析】本题的特点是给出分布列的部分信息来分析解决问题，这还需要结合“投篮”这一稍为复杂事件分解成若干更为基本的独立与互斥事件来考虑。【解答】（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25, P(B)= q,.根据分布列知:=0时=0.03,所以，q=0.8.（2）当=2时, P1=0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24当=3时, P2 =0.01,当=4时, P3=0.48,当=5时, P4=0.24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.12. 生物统计学上研究一个区域的生态情况，有一种方法叫做“标志重捕”法，意思是说：研究一个区域内的某种动物的生存发展情况，主要是种群数量，由于区域地形复杂、动物特性、群体数量庞大等多种原因，难以将它们一一捕获进行研究.研究人员采取如下做法：如研究某山区某一类鸟的繁殖数量，捕获s只，做上标志，过一段时间后再捕获M只，检查做过标志的有t只，研究人员就可估计此山区这类鸟的总数量N为你知道研究人员这样做的道理吗？【分析】对此跨学科的实际应用问题，可用概率统计学知识给予解释。【解答】解释1 当此山区这类鸟总数量（即总体容量）N很大时，可以用样本频率去近似估计总体频率，即，于是有这是最通俗、最易为广大读者所接受的解释. 解释2 当N很大时，可以认为这一试验近似为M重独立重复试验.设第2次捕鸟所捕的M只鸟中含有标志鸟数为随机变量，第2次捕鸟每捕到一只是做标志的鸟的概率为则服从二项分布随机变量的期望值（即做标志鸟数的平均值）为我们把作为t的估计值.于是令易得 解释3 设第2次捕鸟所捕的M只鸟中含有标志鸟数为随机变量，则有只鸟做标志的概率为可得 当时，有单调递增； 当时，有单调递减；当