2.5一元二次方程的应用.ppt

一元二次方程的应用 2 5 一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用 本节来举一些例子 某省农作物秸秆资源巨大 但合理使用量十分有限 因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率 若今年的使用率为40 计划后年的使用率达到90 求这两年秸秆使用率的年平均增长率 假定该省每年产生的秸秆总量不变 今年的使用率 1 年平均增长率 后年的使用率 你能找出问题中涉及的等量关系吗 40 1 x 90 整理 得 1 x 2 25解得x1 0 5 50 x2 2 5 答 这两年秸秆使用率的年平均增长率为50 若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x 请你根据等量关系 列出方程 接下来请你解出此一元二次方程 x2 2 5符合题意吗 不合题意 舍去 例1为执行国家药品降价政策 给人民群众带来实惠 某药品经过两次降价 每瓶零售价由100元降为81元 求平均每次降价的百分率 举例 原价 1 平均每次降价的百分率 现行售价 你能找出问题中涉及的等量关系吗 100 1 x 81 解得x1 0 1 10 x2 1 9 答 平均每次降价的百分率为10 若设平均每次降价的百分率为x 根据等量关系你能列出方程吗 不合题意 舍去 接下来请你解出此一元二次方程 两个根都符合题意吗 例2某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品 若每件商品的售价为x元 则可卖出 350 10 x 件 但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120 若该商店计划从这批商品中获取400元利润 不计其他成本 问需要卖出多少件商品 此时的售价是多少 举例 售价 进价 销售量 利润 你能找出问题中涉及的等量关系吗 x 21 350 10 x 400 整理 得x 56x 775 0 解得x1 25 x2 31 注意 21 120 25 2 即售价不能超过25 2元 所以x 31不合题意 应当舍去 故x 25 答 该商店需要卖出100件商品 且每件商品的售价是25元 你能根据等量关系列出方程吗 从而卖出350 10 x 350 10 25 100 件 你认为运用一元二次方程解实际问题的关键是什么 找出问题中的等量关系 1 审题 找出问题中的等量关系 2 根据题意 设未知数 3 把等量关系转换成一元二次方程 4 选取适当的方法解方程 5 根据题意对求出的根的实际意义进行检验 6 答题 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些 1 某校图书馆的藏书在两年内从 万册增加到7 2万册 问平均每年藏书增长的百分率是多少 练习 解 设平均每年藏书增长的百分率为x5 1 x 7 2 整理 得 1 x 1 44 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不符合题意 舍去 答 平均每年藏书增长的百分率为20 2 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件 每件可盈利44元 若每件降价1元 则每天可多售出5件 若要平均每天盈利1600元 则应降价多少元 解 设应降价x元 则 44 x 20 5x 1600 整理 得x 40 x 144 0解得x1 36 x2 4答 应降价36元或4元 举例 例3如图2 2 一块长和宽分别为40cm 28cm的矩形铁皮 在它的四角截去四个全等的小正方形 折成一个无盖的长方体盒子 使它的底面积为364cm2 求截去的小正方形的边长 你能找出问题中涉及的等量关系吗 若设截去的小正方形的边长为xcm 则无盖长方体盒子的底面边长分别为 40 2x cm 28 2x cm 根据等量关系你能列出方程吗 解得x1 27 x2 7 因此 原方程可以写成x2 34x 189 0 这里a 1 b 34 c 189 b2 4ac 34 2 4 1 189 2 17 2 4 189 4 172 189 4 289 189 400 40 2x 28 2x 364 接下来请你解出此一元二次方程 两个根都符合题意吗 如果截去的小正方形的边长为27cm 那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm 这超过了矩形铁皮的长40cm 因此x1 27不合题意 应当舍去 答 截去的小正方形的边长为7cm 例4如图2 4 一长为32m 宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路 图中阴影部分 余下部分进行了绿化 若已知绿化面积为540m 求道路的宽 举例 分析虽然 整个矩形的面积 道路所占面积 绿化面积 但道路不是规则图形 因此不便于计算 分析若把道路平移 此时绿化部分就成了一个新的矩形了 问题中涉及的等量关系是什么 矩形面积 矩形的长 矩形的宽 若设道路宽为xm 则新矩形的边长为 32 x m 宽为 20 x m 根据等量关系你能列出方程吗 32 x 20 x 540 整理 得x 52x 100 0 解得x1 2 x2 50 又要问自己一个问题 两个根都符合题意吗 x2 50 32 不符合题意 舍去 故x 2 答 道路的宽为2米 举例 例5如图2 6所示 在 ABC中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点P沿AC边从点A向终点C以1cm s的速度移动 同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm s的速度移动 且当其中一点到达终点时 另一点也随之停止移动 问点P Q出发几秒后可使 PCQ的面积为9cm 问题中涉及的等量关系是什么 两直角边的乘积的一半 直角三角形的面积 S PCQ PC CQ 你能根据等量关系列出方程吗 根据题意得AP xcm PC 6 x cm CQ 2xcm 若设点P Q出发xs后可使 PCQ的面积为9cm 整理 得 解得x1 x2 3 答 点P Q出发3s后可使 PCQ的面积为9cm 4 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 8cm BC 6cm 点P Q同时从A B两点出发 分别沿AC BC向终点C移动 它们的速度都是1cm s 且当其中一点到达终点时 另一点也随之停止移动 问点P Q出发几秒后可使 PCQ的面积为Rt ABC面积的一半 答 点P Q同时出发2s后可使可使 PCQ的面积为Rt ABC面积的一半 整理 得 则由S PCQ 可得 建立一元二次方程模型 分析数量关系设未知数 检验 小结与复习 例1 2012湘潭 如图 某中学准备在校园里利用围墙的一段 再砌三面墙 围成一个矩形花园ABCD 围墙MN最长可利用25m 现在已备足可以砌50m长的墙的材料 试设计一种砌法 使矩形花园的面积为300m 例2 2012济宁 一学校为了绿化校园环境 向某园林公司购买力一批树苗 园林公司规定 如果购买树苗不超过60棵 每棵售价120元 如果购买树苗超过60棵 每增加1棵 所出售的这批树苗每棵售价均降低0 5元 但每棵树苗最低售价不得少于100元 该校最终向园林公司支付树苗款8800元 请问该校共购买了多少棵树苗 解 因为60棵树苗售价为120元 60 7200元 8800元 所以该校购买树苗超过60棵 设该校共购买了x棵树苗 由题意