建模论文(新).docx

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要：本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的实际问题，以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件解决了题目所要求解的问题。针对问题（1），在合理的假设基础上，利用物理理论知识、解析几何知识和微元法，分析并求解出近月点和远月点的位置，即139.1097。再运用能量守恒定律和相关数据，计算出速度（近月点的速度）=1750.78,（远月点的速度）=1669.77，最后利用曲线的切线方程，代入点（近月点与远月点）的坐标求值，计算出方向余弦即为相应的速度方向。针对问题（2），根据题意，将嫦娥三号软着陆问题，分为6个阶段依次为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓速下降、自由落体。首先，我们可将6个阶段大致分为3个阶段，依次为第一阶段制动段（主减速和快速调整）、第二阶段接近段（粗避障、精避障、缓速下降),第三阶段着陆段（自由落体）。然后，确定嫦娥三号的着陆轨道，并设计着陆准备轨道上的6个阶段的最优控制策略。并且满足每个阶段在关键点所处的状态（见附件2），尽量减少软着陆过程的燃料消耗。（3）最后，对上述确定的着陆轨道和对6个阶段所设计的最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。关键字：万有引力 开普勒定律 动力学模型一、问题的重述：嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到 7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题的分析: （1）首先根据问题的假设、题目中所提供的数据及图片分析，可以知道嫦娥三号绕月球的轨道是由圆形轨道变为椭圆形轨道，借助开普勒定律、能量守恒定律求解出近月点的速度。为了确定近月点和元月点的精确位置及相应的速度方向，我们建立以赤道（月球的赤道）平面为 x0y平面、月心为原点、月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线为坐标轴的坐标系和赤道（月球的赤道）平面为x0y 平面，极轴（月球的极轴）为z 轴建立空间直角坐标系，x 轴与极坐标系的轴相重合。首先根据着陆点的经度、纬度及月球的半径求解出着陆点和近月点（带参数 )的空间直角坐标。 其次利用两点间的距离公式，并借助MATLAB软件求解出近月点与着陆点最短距离。从而计算出 （近月点的经度）。最后利用卫星的轨迹是以月心为其中一个焦点，以近月点与远月点的距离为长轴的椭圆，从而求解出卫星的轨迹方程，再运用隐函数求导的应用的知识，求解出在近月点和远月点的方向导数，进而求解近月点和远月点方向余即为近月点和远月点的速度的方向。（2）根据题意，将嫦娥三号软着陆问题，分为6个阶段依次为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓速下降、自由落体。首先，我们可将6个阶段大致分为3个阶段，依次为第一阶段制动段（主减速和快速调整）、第二阶段接近段（粗避障、精避障、缓速下降),第三阶段着陆段（自由落体）。然后，确定嫦娥三号的着陆轨道，并设计着陆准备轨道上的6个阶段的最优控制策略。并且满足每个阶段在关键点所处的状态（见附件2），尽量减少软着陆过程的燃料消耗。（3）最后，对上述确定的着陆轨道和对6个阶段所设计的最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。三、模型假设 1、不考虑空间飞行器上各点因燃料消耗而产生的位移； 2、在对卫星和空间飞行器进行轨道估计时，认为作用于其上的所有外力都通过其质心；3、卫星和空间飞行器的运动是在真空中进行的； 4、卫星只受重力影响，空间飞行器除自身推力外只受重力影响； 5、卫星的观测图片及数据精准；四、符号说明五、模型建立（一）1、模型准备（1）开普勒定律开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒，用公式表示为开普勒定律。开普勒第三定律，也称调和定律，各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。由这一定律不难导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的万有引力定律的一个重要基础。用公式表示为a3T2=K，这里，a是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期，K是常数 。（2）万有引力任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。即： 其中，（牛顿每平方米二次方千克）。2模型建立根据以上的分析，建立以月球赤道平面为平面,月心为原点、为月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线，为极轴（月球的极轴），与和满足右手标架，建立空间直角坐标系(如图5-1所示）。图5-1 卫星绕月轨迹及软着陆轨迹由于着陆点在球面上且近月点与远月点是由月球的经度、纬度及高度唯一确定，在此为了便于计算将极坐标转化为空间直角坐标，并代数题中相关数据，反解出经度。极坐标转化为空间直角坐标即：（5.1.1） （5.1.2）距离公式： （5.1.3）其中：为纬度；为经度；为嫦娥三号距月心的距离；为嫦娥三号距着陆点的距离；根据能量守恒、开普勒第二定律（面积定律），建立以下模型即：（5.1.4） 则近月点的速度，近月点的速度：（5.1.5） 其中：为卫星的质量，为海拔高度，近月点距月球表面的距离；，月球半径，远月点距月球表面的距离，月球重力加速度， 近月点的速度， 近月点的速度。 3、模型求解 近月点与远月点的位置根据题目所给数据以上分析，可知：将以上数据代入（5.1.1）式可得，着陆点及近月点的空间直角坐标分别为：（5.1.6） （5.1.7） 再将（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得关于与（近月点和着陆点距离）的函数，求解可得：=-139.107 .近月点与远月点的速度大小及方向近月点与远月点的速度方向，即为相应速度在轴与轴方向上的投影（如图5-2所示） 图5-2 近月点与远月点的速度方向示意图由图易知：（二）模型建立1、着陆器的动力下降段一般从15km左右的轨道高度开始，下降到月球表面的时间比较短，在几百秒范围内，所以可以不考虑月球引力摄动。月球自转速度比较小，也可忽略。因此，可以利用二体模型描述系统的运动。建立图5-3所示的着陆坐标系，并假设着陆轨道在纵向平面内，令月心为坐标原点，Oy 指向动力下降段的开始制动点， Ox 指向着陆器的开始运动方向。则着陆器的质心动力学方程可描述如下: （1）式中:和分别为着陆器的月心距、极角、角速度和质量；为着陆器沿r 方向上的速度；F为制动发动机的推力(固定的常值或0）；为其比冲；为月球引力常数；为发动机推力与当地水平线的夹角即推力方向角。 图5-3 月球软着陆坐标系动力下降的初始条件由霍曼变轨后的椭圆轨道近月点确定，终端条件为着陆器在月面实现软着陆。令初始时刻，终端时刻不定，则相应的初始条件为 终端约束为： 式中:为月球半径；为初始轨道高度；为轨道角速度。2、对月球软着陆制动段、接近段和着陆段的飞行动力学模型进行研究。所谓月球软着陆，是指月球着陆器经地月转移到达月球附近后，在制动系统的作用下以很小的速度近乎垂直的降落到月面上，以保证宇航员的安全和试验设备的完好。总起来说，月球软着陆有2种形式：一是自地月转移轨道直接实现软着陆，二是自月球停泊轨道变轨至近月点然后实现软着陆。早期的软着陆大都采用第1种直接软着陆的方式；从Apollo计划开始，后期的月球软着陆计划大都采用自月球停泊轨道下降的间接软着陆方式。自环月停泊轨道开始的软着陆可大致分为2部分: 一部分是轨道转移, 另一部分是软着陆下降。轨道转移主要包括离轨段和霍曼转移段, 软着陆下降包括 3 个阶段： 制动段、接近段和着陆段, 如图1所示.下面对软着陆下降的接近段和着陆段进行最优控制设计。（1）接近段飞行动力学建模 平面月球二维动力学模型该段中, 着陆器距离月面较近下降时间很短, 且由于着陆器接近垂直下降, 因而经过的月面距离很短.此段可将月球视为平面来建立月球平面直角坐标系.如图2所示。 图2 月球平面直角坐标系图2所示的月球平面直角坐标系，原点O为下降轨道上制动发动机点火点在月球表面的投影，X0Y0为下降轨道参考系纵向平面，着陆器的下降轨迹位于此平面内。图2表示的是符合重力转弯软着陆的情况，即反推力F的方向与下降速度方向相反。对于这样的情况，沿两坐标轴方向有如下的动力学方程x0=U=-Fcosm=-FUmv,y0=W=-Fsinm-gm=-FWmv-gm,（10）方程中，m为飞行器质量，在短时间内可视为常值；gm为月球表面的加速度，始终垂直于月球表面且为常值；为飞行路径角，即为下降速度矢量v与x0轴的夹角，从x0轴开始逆时针量起为正，v为下降速度的模，v=U2+W2.在下降速度v和垂直于下降速度v两个方向还可建立如下的动力学方程h=-vcos,m=-cu,v=-Fmu+gmcos,=-gmsinv, 其中，补充了高度方向的微分方程和质量为变化方程；为垂直方向与速度方向的夹角，由垂直方向逆时针旋转为正；常