高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题六解析几何1_6_3定点定值存在性问题课件理新人教版

第三讲定点 定值 存在性问题 知识回顾 1 定点 定值 存在性问题的解读 1 定点问题 在解析几何中 有些含有参数的直线或曲线的方程 不论参数如何变化 其都过某定点 这类问题称为定点问题 2 定值问题 在解析几何中 有些几何量 如斜率 距离 面积 比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关 这类问题统称为定值问题 3 存在性问题的解题步骤 先假设存在 引入参变量 根据题目条件列出关于参变量的方程 组 或不等式 组 解此方程 组 或不等式 组 若有解则存在 若无解则不存在 得出结论 2 几个重要结论 1 直线与圆锥曲线相交的问题 牢记 联立方程 根与系数的关系 定范围 运算推理 2 有关弦长问题 牢记弦长公式 AB x1 x2 y1 y2 及根与系数的关系 设而不求 有关焦点弦长问题 要牢记圆锥曲线定义的运用 以简化运算 3 涉及弦中点的问题 牢记 点差法 是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法 4 求参数范围的问题 牢记 先找不等式 有时需要找出两个量之间的关系 然后消去另一个量 保留要求的量 不等式的来源可以是 0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等 易错提醒 1 对概念理解不准确致误 直线与双曲线 抛物线相交于一点时 不一定相切 反之 直线与双曲线 抛物线相切时 只有一个交点 2 忽略直线斜率不存在的情况致误 过定点的直线 若需设直线方程 应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解 3 混淆点的坐标与线段长度致误 在表示三角形面积时 用顶点到坐标轴的距离表示三角形边长的距离要注意符号 考题回访 1 2016 北京高考 已知椭圆C a b 0 的离心率为 A a 0 B 0 b O 0 0 OAB的面积为1 1 求椭圆C的方程 2 设P是椭圆C上一点 直线PA与y轴交于点M 直线PB与x轴交于点N 求证 AN BM 为定值 解析 1 离心率e 所以a 2b OAB的面积为ab 1 所以a 2 b 1 所以椭圆C的方程为 y2 1 2 设P x0 y0 当直线BP的斜率存在时 直线AP方程为y x 2 直线BP方程为y x 1 所以所以所以 AN BM 因为点P在椭圆C上 所以代入上式得 AN BM 当BP的斜率不存在时 N 0 0 M 0 1 AN BM 4 因此 AN BM 为定值4 2 2015 全国卷 在直角坐标系xOy中 曲线C y 与直线y kx a a 0 交于M N两点 1 当k 0时 分别求C在点M和N处的切线方程 2 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有 OPM OPN 说明理由 解析 1 由题设可得M 2 a N 2 a 或M 2 a N 2 a 又y 故y 在x 2处的导数值为 曲线C在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 y 在x 2处的导数值为 曲线C在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 2 存在符合题意的点P 证明如下 设P 0 b 为符合题意的点 M x1 y1 N x2 y2 直线PM PN的斜率分别为k1 k2 将y kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 从而当b a时 有k1 k2 0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以点P 0 a 符合题意 热点考向一圆锥曲线中的定点问题命题解读 主要考查直线 曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上 以解答题为主 典例1 已知p m 0 抛物线E x2 2py上一点M m 2 到抛物线焦点F的距离为 1 求p和m的值 2 如图所示 过F作抛物线E的两条弦AC和BD 点A B在第一象限 若kAB 4kCD 0 求证 直线AB经过一个定点 解题导引 1 依据点M到抛物线焦点F的距离及抛物线的定义求p 进而求出抛物线方程 然后代入M点的坐标求得m 2 设出直线AB AC的方程及点A B C D的坐标 根据kAB 4kCD 0找出四点横坐标之间的关系 从而可求出经过的定点 规范解答 1 由点M m 2 到抛物线焦点F的距离为 结合抛物线的定义得 即p 1 所以抛物线的方程为x2 2y 把点M m 2 的坐标代入 可解得m 2 2 显然直线AB AC的斜率都存在 分别设AB AC的方程为y k1x b y k2x 联立得x2 2k1x 2b 0 联立得x2 2k2x 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 则x1x2 2b x1x3 1 同理 x2x4 1 故kAB 4kCD 注意到点A B在第一象限 x1 x2 0 所以 0故得x1x2 4 2b 4 所以b 2 即直线恒经过点 0 2 一题多解 设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 显然直线AC BD的斜率都存在 设AC的方程为y kx 联立得x2 2kx 1 0 所以x1x3 1 同理 x2x4 1 故kAB 4kCD 注意到点A B在第一象限 x1 x2 0 所以故得x1x2 4 直线AB的方程为化简得即直线AB恒经过点 0 2 规律方法 动线过定点问题的两大类型及解法 1 动直线l过定点问题 解法 设动直线方程 斜率存在 为y kx t 由题设条件将t用k表示为t mk 得y k x m 故动直线过定点 m 0 2 动曲线C过定点问题 解法 引入参变量建立曲线C的方程 再根据其对参变量恒成立 令其系数等于零 得出定点 变式训练 2016 合肥二模 已知椭圆E a b 0 经过点 2 2 且离心率为 F1 F2是椭圆E的左 右焦点 1 求椭圆E的方程 2 若点A B是椭圆E上关于y轴对称的两点 A B不是长轴的端点 点P是椭圆E上异于A B的一点 且直线PA PB分别交y轴于点M N 求证 直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上 解析 1 由条件得a 4 b c 2 所以椭圆E的方程为 2 设B x0 y0 P x1 y1 则A x0 y0 直线PA的方程为y y1 x x1 令x 0 得y 故同理可得 所以 所以 F1M F2N 所以直线F1M与直线F2N的交点G在以F1F2为直径的圆上 加固训练 已知椭圆C a b 0 的离心率e 短轴长为2 1 求椭圆C的标准方程 2 如图 椭圆左顶点为A 过原点O的直线 与坐标轴不重合 与椭圆C交于P Q两点 直线PA QA分别与y轴交于M N两点 试问以MN为直径的圆是否经过定点 与直线PQ的斜率无关 请证明你的结论 解析 1 由短轴长为2 得b 由e 得a2 4 b2 2 所以椭圆C的标准方程为 1 2 以MN为直径的圆过定点F 0 证明如下 设P x0 y0 则Q x0 y0 且 即因为A 2 0 所以直线PA方程为 y x 2 所以M 0 直线QA方程为 y x 2 所以N 0 以MN为直径的圆为 x 0 x 0 y y 0 即x2 y2 因为x02 4 2y02 所以x2 y2 2y 2 0 令y 0 则x2 2 0 解得x 所以以MN为直径的圆过定点F 0 热点考向二圆锥曲线中的定值问题命题解读 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 考查转化与化归思想以解答题为主 和对定值问题的处理能力 常涉及式子 面积的定值问题 典例2 2015 全国卷 已知椭圆C 9x2 y2 m2 m 0 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点为M 1 证明 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 2 若l过点延长线段OM与C交于点P 四边形OAPB能否为平行四边形 若能 求此时l的斜率 若不能 说明理由 解题导引 1 将直线y kx b k 0 b 0 与椭圆C 9x2 y2 m2 m 0 联立 结合根与系数的关系及中点坐标公式证明 2 由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分求解证明 解析 1 设直线l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 将y kx b代入9x2 y2 m2得 k2 9 x2 2kbx b2 m2 0 故于是直线OM的斜率即kOM k 9 所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值 2 四边形OAPB能为平行四边形 因为直线l过点所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k 0 k 3 由 1 得OM的方程为y 设点P的横坐标为xP 将点的坐标代入l的方程得四边形OAPB为平行四边形 当且仅当线段AB与线段OP互相平分 即xP 2xM 于是解得因为ki 0 ki 3 i 1 2 所以当l的斜率为4 或4 时 四边形OAPB为平行四边形 规律方法 求解定值问题的两大途径 1 首先由特例得出一个值 此值一般就是定值 然后证明定值 即将问题转化为证明待证式与参数 某些变量 无关 2 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示 再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子 分母约分得定值 变式训练 2016 中原名校联盟二模 已知椭圆C a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 点B 0 为短轴的一个端点 OF2B 60 1 求椭圆C的方程 2 如图 过右焦点F2 且斜率为k k 0 的直线l与椭圆C相交于D E两点 A为椭圆的右顶点 直线AE AD分别交直线x 3于点M N 线段MN的中点为P 记直线PF2的斜率为k 试问k k 是否为定值 若为定值 求出该定值 若不为定值 请说明理由 解析 1 由条件可知a 2 b 故所求椭圆方程为 2 设过点F2 1 0 的直线l方程为 y k x 1 由可得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0因为点F2 1 0 在椭圆内 所以直线l和椭圆都相交 即 0恒成立 设点E x1 y1 D x2 y2 则因为直线AE的方程为 y x 2 直线AD的方程为 y x 2 令x 3 可得所以点P的坐标直线PF2的斜率为k 所以k k 为定值 加固训练 如图所示 在平面直角坐标系xOy中 设椭圆E 1 a b 0 其中b a 过椭圆E内一点P 1 1 的两条直线分别与椭圆交于点A C和B D 且满足其中 为正常数 当点C恰为椭圆的右顶点时 对应的 1 求椭圆E的离心率 2 求a与b的值 3 当 变化时 kAB是否为定值 若是 请求出此定值 若不是 请说明理由 解题导引 1 由b a求离心率 2 由时 C为椭圆的右顶点 求点A坐标 代入椭圆方程 求a b 3 设出点A B C D的坐标 利用点差法求kAB与kCD 再根据kAB kCD求解 解析 1 因为b a 所以b2 a2 得a2 c2 a2 所以e2 e 2 因为C a 0 所以由得将它代入到椭圆方程中 得解得a 2 负值舍去 所以a 2 b 3 设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 由得同理将A B坐标代入椭圆方程得两式相减得3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 即3 x1 x2 4 y1 y2 kAB 0 同理 3 x3 x4 4 y3 y4 kCD 0 而kAB kCD 所以3 x3 x4 4 y3 y4 kAB 0 所以3 x3 x4 4 y3 y4 kAB 0 所以3 x1 x3 x2 x4 4 y1 y3 y2 y4 kAB 0 即6 1 8 1 kAB 0 所以kAB 为定值 热点考向三圆锥曲线中的存在性问题命题解读 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 考查学生分析问题和解决问题的能力 命题角度一点 线的存在性问题 典例3 2016 临汾二模 已知椭圆C a b 0 的离心率为 以原点O为圆心 椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x y 6 0相切 1 求椭圆C的标准方程 2 已知点A B为动直线y k x 2 k 0 与椭圆C的两个交点 问 在x轴上是否存在定点E 使得为定值 若存在 试求出点E的坐标和定值 若不存在 请说明理由 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成两个小题 假设存在定点E m 0 把用k m表示 寻找满足定值需要的条件 规范解答 1 由e 得即c a 又以原点O为圆心 椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2 y2 a2且与直线2x y 6 0相切 所以a 代入 得c 2 所以b2 a2 c2 2 所以椭圆C的标准方程为 2 由得 1 3k2 x2 12k2x 12k2 6 0 设A x1 y1 B x2 y2 所以根据题意 假设x轴上存在定点E m 0 使得为定值 则 x1 m y1 x2 m y2 x1 m x2 m y1y2 k2 1 x1x2 2k2 m x1 x2 4k2 m2 要使上式为定值 即与k无关 3m2 12m 10 3 m2 6 得m 此时 所以在x轴上存在定点E使得为定值 值为 命题角度二字母参数值的存在性问题 典例4 2016 长沙二模 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知F1 F2分别是椭圆E a b 0 的左 右焦点 A B分别是椭圆E的左 右顶点 D 1 0 为线段OF2的中点 且 1 求椭圆E的方程 2 若M为椭圆E上的动点 异于点A B 连接MF1并延长交椭圆E于点N 连接MD ND并分别延长交椭圆E于点P Q 连接PQ 设直线MN PQ的斜率存在且分别为k1 k2 试问是否存在常数 使得k1 k2 0恒成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 解题导引 1 根据条件D 1 0 为线段OF2的中点 且以及a2 b2 c2 即可求解 2 将直线MD的方程与椭圆方程联立 利用根与系数的关系即可建立k1 k2所满足的一个关系式 从而可探究 的存在性 规范解答 1 因为 所以因为a c 5 a c 化简得2a 3c 点D 1 0 为线段OF2的中点 所以c 2 从而a 3 b 左焦点F1 2 0 故椭圆E的方程为 2 存在满足条件的常数 设M x1 y1 N x2 y2 P x3 y3 Q x4 y4 则直线MD的方程为x 代入椭圆方程整理得 所以y1