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数学分析下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 滨州学院数学与信息科学系2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目的：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别(1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明(2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明教学建议：(1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论(2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题教学程序：主要讨论连续性、可积性、可微性。定理13-2-1 设函数列在上一致收敛于，且对，则、均存在，且相等，即 。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）定理13-9（连续性）若函数列在区间I上一致收敛于，且对，在I上连续，则在I上也连续。说明：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列 在区间I上不一致收敛。如：在上。定理13-10（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则 。注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的：例1 设函数 ，。定理13-11（可微性）设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 。注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如：例2 设函数列 ，。作业：P41-42 1,2,3,4,5,6,7,8.下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。定理13-12（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数也在区间上连续。注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 。定理13-13（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则 。注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。定理13-14（逐项求导）若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数，为函数项级数的
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