几类二阶变系数常微分方程解法论文.docx

二阶变系数常微分方程几种解法的探讨胡博 （111114109） （湖北工程学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000） 摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficientZhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000)Abstract: Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there is no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions, variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps.Key words: Two order variable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution0 引言二阶变系数常微分方程y+pxy+qxy=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。可见二阶变系数常微分方程在物理学中应用是非常广泛的。但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难，至今仍没有通用解法，因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。本文主要利用特解、常系数变法、变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解，给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。1 具有特定结构的二阶变系数常微分方程二阶变系数齐次线性微分方程：fxy+pxy+qxy=0 1.1，(其中fx, px,qx为连续函数)。1.1 满足条件fxr2+pxr+qx=0,r为常数类型时，方程1.1的通解在求1.1通解前，我们先求二阶常系数齐次线性方程ay+by+cy=0其中a,b,c为常数且a0 1.1.1 由线性微分方程通解结构定理【1】知，若y1x,y2x 是 1.1.1的两个线性无关的特解，则其通解为y=c1y1x+c2y2x.假设y=erx是方程是方程1.2的一个特解，则讨论r满足的条件对y=erx两边求导得：y=rerx,y=r2erx将其代入方程1.2 得：ar2+br+cerx=0,由于erx0，则可知ar2+br+c=0 1.1.2当r为1.3的一个解时，y=erx必为1.2的解由此很容易求出方程1.2的通解。 对比方程1.1，1.1.1，易知其结构类似，且方程1.1.1是1.1的特殊形式。所以我们类比上述求解常系数方程的方法，猜想假设1.1有一个特解y=erx，将y=erx，y=rerx,y=r2erx代入方程1.1得：fxr2+pxr+qxerx=0其中显然erx0，则有：fxr2+pxr+qxerx=0 1.1.3 此时若对fx，px，qx存在常数r使得1.1.3对一切x恒成立，则方程1.1有一特解y1=erx,此时要想求出方程1.1的通解，还需要找出另一个特解y2，且y1，y2是线性无关的。联想到常数变易法，易想到假设y2=uxerx也是方程1.1的一特解，则y2=ux+ruxerx, y2=ux+2rux+r2uxerx将y2，y2， y2代入方程1.1得：fxux+2rfx+pxux+fxr2+pxr+qxux=0由于fxr2+pxr+qx=0 fxux+2rfx+pxux=0 1.1.4令hx=ux,则hx=ux,将方程1.5降为一阶线性 1hxdhx=-2r-pxfxdxhx=e-2rx-pxfxdx即得出dudx=hx=e-2rx-pxfxdx 解得ux=e-2rx-pxfxdxdx即得出方程1.1另一特解y2=uxerx=erxe-2rx-pxfxdxdx，由于y2y1=e-2rx-pxfxdxdx，显然y1，y2是线性无关的，最终得出方程1.1的通解为：y=c1y1x+c2y2x =c1+c2e-2rx-pxfxdxdxerx结论（1）：二阶变系数齐次线性微分方程fxy+pxy+qxy=0，满足条件fxr2+pxr+qx=0 ，r为常数情况下，方程的通解为y=c1+c2e-2rx-pxfxdxdxerx,其中c1，c2为常数例1 求方程xy-2x+1y+4y=0的通解解：由题可知fx=x,px=-2x-2qx=4, 则由fxr2+pxr+qx=0 xr2-2x+1r+4=0 r-2rx-2=0 因为r为常数，所以易得r=2， 则原方程的一个特解为：y1=e2x 假设原方程另一特解y2=uxe2x,( ux不为常数) 则有y2=ux+2uxe2xy2=ux+4ux+4uxe2x 将y2，y2，y2代入原方程得：xux+4ux+4uxe2x-2x+1ux+2uxe2x+4uxe2x=0 整理得：uxux=-2+2x 解得ux=-12x2+x+12e-2x 即y2x= uxe2x=-12x2+x+12 显然y1=e2xy2x= uxe2x=-12x2+x+12，是线性无关的 故原方程通解为：y=c1e2x-12x2+x+121.2 满足条件fxrx+fxr2x+pxr+qx=0,rx为连续可导函数，方程1.1的通解 要求方程1.1的通解同上，主要是要求出方程1.1的两个线性无关的特解，类比1.1的求法，猜想方程1.1由一特解y=erxdx,则y=rxerxdx,y=rxerxdx+r2xerxdx将y，y，y代入方程1.1fxy+pxy+qxy=0中得：erxdxfxrx+fxr2x+pxr+qx=0由于erxdx0，故有fxrx+fxr2x+pxr+qx=0 1.2.1此时若对已知fx，px，qx而言存在函数rx能使2.1式恒成立，则可知方程1.1必有一特解y1=erxdx由常数变易法可设方程1.1的另一特解y2=vxerxdx,( vx为非常数，且y1，y2线性无关)将y2=vxerxdx代入方程1.1，整理可得：fxvx+2fxrx+pxvx+fxrx+fxr2x+pxr+qxvx =0由2.1式知fxrx+fxr2x+pxr+qx=0，故有：fxvx+2fxrx+pxvx=0 也成立 1.2.2 方程 2.2 不含vx项，则可降为一阶线性方程，令vx=gx,则方程 1.2.2可化为：fxgx+2fxrx+pxgx=0gx=e-2fxrx+pxfxdx即得出vx=gx=e-2fxrx+pxfxdx， vx=e-2fxrx+pxfxdxdx故y2=vxerxdx=erxdxe-2fxrx+pxfxdxdx因此方程1.1的通解为y=c1y1x+c2y2x=erxdxc1+c2e-2fxrx+pxfxdxdx结论2：二阶变系数齐次微分方程1.1满足条件fxrx+fxr2x+pxr+qx=0，则其通解为y=erxdxc1+c2e-2fxrx+pxfxdxdx例2：求y-2sinxy-cosx-sin2xy=0的通解 解：由题知fx=1,px=-2sinx,qx=-cosx+sin2x 则得出：rx+r2x-2sinxrx-cosx+sin2x=0 rx-cosx+y-sinx2=0 易得rx=sinx, 则由结论2得原方程通解为：y=esinxdxc1e-2sinx-2sinxdxdx+c2=e-cosxc1x+c21.3 满足条件fxrx+fxr2x+pxr+qx=0,的非齐次变系数常微分方程fxy+pxy+qxy=gx 1.3.1 的通解 前面1.1、1.2都是讨论的齐次变系数微分方程，而1.3是对应的非齐次微分方程，故可用常数表变易法求解方程由齐次方程方程1.3.1。由1.2知方程1.1的特解y=erxdx，可用常数变易法将其变换为：y=cxerxdx 1.3.2 将 1.3.2代入方程1.3.1，化简整理得：fxcx+2fxrx+pxcx+fxrx+fxr2x+pxr+qxcx=gxe-rxdx由于rx满足1.2.1式fxrx+fxr2x+pxr+qx=0，故有fxcx+2fxrx+pxcx=gxe-rxdx整理得：cx+2fxrx+pxfxcx=gxfxe-rxdx即可解出：cx=gxfxe-rxdxe2fxrx+pxfxdx+c1e-2fxrx+pxfxdx+c2故1.3.1的通解为：y=cxerxdx=erxdxgxfxe-rxdxe2fxrx+pxfxdx+c1e-2fxrx+pxfxdx+c2结论3 若非齐次变系数常微分方程fxy+pxy+qxy=gx 满足条件fxrx+fxr2x+pxr+qx=0,rx为连续可导函数，则其通解为：y=erxdxgxfxe-rxdxe2fxrx+pxfxdxdx+c1e-2fxrx+pxfxdx+c2例3求方程xy+21-xy+x-2y=2ex的通解 解：由题知fx=x,px=2-2x,qx=x-2,gx=2ex 先求出xrx+xr2x+21-xrx+x-2=0 易得：rx=1 则由结论3可知原方程通解为： y=edx2exxe-dxe2x+2-2xxdxdx+c1e-2x+2-2xxdx+c2即得出：y=x-c1x+c2ex2 可化为常系数微分方程的二阶变系数微分方程 一般变系数微分方程并无统一方法求解，但当其满足一定条件下时，可以通过变量替换的方法将二阶变系数常微分方程转化为常系数微分方程，再用我们熟悉的常系数微分方程的求解方法来求其通解。一般变系数线性微分方程：yx+pxy+qxy=0 2.12.1 以自变量t=x=cqx进行替换这里令t=x=cqxdx,则有dydx=cqxdydt,d2ydx2=cqxdydt+cqxd2ydt2将其代入方程2.1整理得：d2ydt2+cqx+pxcqxcqxdydt+1cy=0 2.1.1要使方程 2.1.1为常系数线性微分方程，则必有:cqx+pxcqxcqx=r ,r为常数此时方程2.1可变换为常系数线性微分方程：d2ydt2+rdydt+1cy=0 结论4 若非零函数qx在给定区间内有一阶连续导数，则方程2.1在满足cqx+pxcqxcqx=r ,r为常数的情况下，可通过变量替换：t=x=cqxdx转换为以t为自变量的常系数线性微分方程：d2ydt2+rdydt+1cy=0 例4 求变系数微分方程y-1x+6xy+8x2y=o，xo的解 解：由题知px=-1x+6x,qx=8x2, 且cqx+pxcqxcqx=-3，为常数，则方程可化为常系数微分方程 令t=x=cqxdx=c8x2dx,令c=12时，t=2x 于是方程可化为：d2ydt2-3dydt+2y=0 其特征方程为2-3+2=0 易得1=1，2=2 即其通解为y=c1et+c2e2t, t=2x 代回原式为y=c1e2x+c2e4x2.2 以变量t=x=e-pxdxdx进行变量替换 令t=x=e-pxdxdx， 则dydx=e-pxdxdydt, d2ydx2=-pxe-pxdxdydt+e-2pxdxd2ydt2 将其代入方程2.1得：d2ydt2+e2pxdxqxy=0 2.2.1 要使方程2.2.1为常系数线性微分方程， 即有e2pxdxqx=r,r为常数 qx=re-2pxdx 结论5 若方程2.1在满足qx=re-2pxdx的情况下，可通过变量替换t=x=e-pxdxdx，将其转化成自变量为t的常系数线性微分方程：d2ydt2+ry=0例5【】 求方程y+ytanx-ycos2x=0的通解 解：由题知px=tanx,qx=-cos2x 则qx=-cos2x=re-2pxdx=re-2tanxdx r=-1,是常数，满足条件 于是设t=x=e-pxdxdx=e-tanxdxdx=sinx 则原方程可化为：d2ydt2-y=0 解得其通解为y=c1et+c2e-t 代回原变量得方程通解为：y=c1esinx+c2e-sinx 2,3 通过未知函数y=axu进行线性变换 令y=axu，则y=axu+ axu y=axu+2axu+ axu将其代入方程 yx+pxy+qxy=fx得：axu+2ax+pxaxu+ax+axpx+axqxu=fx 2.3.1要使方程2.3.1为常系数线性微分方程，则应该找到合适的ax，使得u，u，u前面的系数均为常数。此时令u的系数为零，则有2ax+pxax=0即得出ax=e-12x0xpxdx,(其中x0R,可视题目而定)在代入 2.3.1得u+qx-14p2x-12pxu=fxe12x0xpxdx即当Ix=qx-14p2x-12px为常数时，原方程可变换为常系数线性常微分方程。结论6 若方程yx+pxy+qxy=fx的系数px，qx满足Ix=qx-14p2x-12px=r，(r为常数)时，方程在y=e-12x0xpxdxu的线性变换下可以变化成常系数线性微分方程：u+ru=fxe12x0xpxdx 2.3.2例6 求方程x2y+xy+x2-14y=2x32ex的通解 解：原方程可变形为：y+1xy+1-14x2y=2x-12ex 由题知px=1x，qx=1-14x2 则Ix=qx-14p2x-12px =1-14x2-141x2-12-1x2=1,是常数 满足条件，则令y=e-121xdxu=1xu 则原方程可化为常系数线性微分