第14章 自相关.ppt

第十四章自相关 1 自相关的性质是什么 2 自相关的理论和实际结果是什么 3 实际中 如何诊断自相关 4 如果发现自相关的后果严重 有哪些补救措施 本章主要讨论如果放松古典线性回归模型的另一假定 总体回归函数 PRF 的误差项ui无序列相关或无自相关时会发生什么情况 我们要探求如下问题的答案 14 1自相关的性质 如果对于不同的样本点 随机误差项之间不再是不相关的 而是存在某种相关性 则认为出现了序列相关性 对于模型 随机项互不相关的基本假设表现为 Cov i j 0i j i j 1 2 n 自相关又称序列相关 原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关 这里主要是指回归模型中随机误差项ui与其滞后项的相关关系 自相关也是相关关系的一种 一 自相关定义 称为一阶序列相关 或自相关 autocorrelation 1 一阶自回归形式 通常假定误差项的自相关是线性的 所以自相关往往可写成如下形式 i i 1 i 1 1 二 自相关的类型 当误差项ui只与其滞后一期值有关时 即E i i 1 0i 1 2 n 1 则称ut具有高阶自回归形式 2 高阶自回归形式 当误差项ut的本期值不仅与其前一期值有关 而且与其前若干期的值都有关系时 即ut f ut 1 ut 2 三 实际经济问题中自相关性的来源 大多数经济时间数据都有一个明显的特点 惯性 表现在时间序列不同时间的前后关联上 由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中 则可能出现序列相关性 往往是正相关 1 经济变量固有的惯性 例如 绝对收入假设下居民总消费函数模型 Ct B1 B2Yt tt 1 2 n 2 模型设定的偏误 所谓模型设定偏误 Specificationerror 是指所设定的模型 不正确 主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误 例如 本来应该估计的模型为 但在模型设定中做了下述回归 因此 vt B4X4t t 如果X4确实影响Y 则出现序列相关 Yt B1 B2X2t B3X3t B4X4t t Yt B1 B2X2t B3X3t ut 但建模时设立了如下模型 又如 如果真实的边际成本回归模型应为 Yt B1 B2Xt B3Xt2 t 其中 Y 边际成本 X 产出 Yt B1 B2Xt vt 因此 由于vt B3Xt2 t 包含了产出的平方对随机项的系统性影响 随机项也呈现序列相关性 3 数据的 编造 例如 季度数据来自月度数据的简单平均 这种平均的计算减弱了每月数据的波动性 从而使随机干扰项出现序列相关 还有就是两个时间点之间的 内插 技术往往导致随机项的序列相关性 在实际经济问题中 有些数据是通过已知数据生成的 因此 新生成的数据与原数据间就有了内在的联系 表现出序列相关性 14 2序列相关性的后果 因为 在有效性证明中利用了 而且 在大样本情况下 参数估计量虽然具有一致性 但仍然不具有渐近有效性 1 参数估计量非有效 E mm 2I 计量经济学模型一旦出现序列相关性 如果仍采用OLS法估计模型参数 会产生下列不良后果 而序列相关即意味着 在其他假设仍成立的条件下 2 变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验中 统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的 这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立 如果存在序列相关性估计的参数方差S2b出现偏误 偏大或偏小 t检验就失去意义 其他检验也是如此 事实上 用OLS法估计的ut的方差常常会低估其真实的方差 也即低估了回归参数估计量的方差 这等于夸大了回归参数的抽样精度 高估了统计量t的值 从而导致把不重要的解释变量保留在模型里 使显著性检验失去意义 3 模型的预测失效 区间预测与参数估计量的方差有关 在方差有偏误的情况下 使得预测估计不准确 预测精度降低 所以用依据OLS法得到的回归方程去预测 预测量不具有有效性 所以 当模型出现序列相关性时 它的预测功能失效 14 2序列相关性的检验 检验序列相关性 也就是检验模型是否存在自相关或高阶自回归形式 以下列数据为例介绍自相关的检验方法 1967 1998年天津市的保费收入Y和人口数据X如下 要求 1 建立合适的一元回归模型 2 检验模型是否存在自相关 3 若有自相关 对模型进行适当修正 基本思路 然后 通过分析这些 近似估计量 之间的相关性 以判断随机误差项是否具有序列相关性 序列相关性检验方法有多种 但基本思路相同 首先 采用OLS法估计模型 以求得随机误差项的 近似估计量 用ei表示 例 第一步 进行OLS一元线性回归 不考虑序列相关进行OLS回归 得如下回归结果 经估计到的各参数值计算得到残差ei 序列相关性的检验 1 图示法 例 图示法 保费收入 Y 和人口数据 X 模型的残差图 明显呈正序列相关 2 回归检验法 以ei为被解释变量 以各种可能的相关量 诸如以ei 1 ei 2 ei2等为解释变量 建立各种方程 对上述各种拟合形式进行显著性检验 如果存在某一种函数形式 使得方程显著成立 则说明原模型存在这一形式的序列相关性 回归检验法的优点是 1 能够确定序列相关的形式 2 适用于任何类型序列相关性问题的检验 例 回归检验法 得 给定 5 查得临界值t0 05 28 2 0484 所以拒绝原假设 即变量系数通过检验 说明原模型存在这一形式的一阶序列相关性 作一阶自回归形式模型 1 89 16 22 R2 0 90F 263 21 3 杜宾 瓦森 Durbin Watson 检验法 D W检验是杜宾 J Durbin 和瓦森 G S Watson 于1951年提出的一种利用残差构成的统计量检验序列自相关的方法 DW检验只适用于检验误差项是否存在一阶自相关情形 该方法的假定条件是 1 解释变量X非随机变量 2 随机误差项 i为一阶自回归形式 i i 1 i 3 回归模型中不应含有滞后因变量作为解释变量 即不应出现下列形式 Yi B1 B2X2i BkXki Yi 1 i 4 回归含有截距项 DW检验步骤 其中分子是残差的一阶差分平方和 分母是残差平方和 给出假设 H0 0 ui不存在一阶自相关 H1 0 ui存在一阶自相关 用估计的回归方程的残差值构造如下DW统计量 该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系 因此其精确的分布很难得到 但是 杜宾和瓦森成功地给出了判别回归模型的自相关情况的方法 DW值与 的对应关系及意义 实际中DW 0 2 4的情形是很少见的 当DW取值在 0 2 2 4 之间时 怎样判别误差项ut是否存在自相关呢 DW检验与其它统计检验不同 它没有惟一的临界值用来制定判别规则 然而Durbin Watson根据样本容量n和被估参数个数k 在给定的显著性水平下 成功地导出了临界值的下限dL和上限dU 用以判别回归模型的自相关情况 D W检验步骤如下 1 计算DW值 2 给定 由n和k的大小查DW分布表 P390 得临界值dL和dU 3 比较 判断 若0 D W dL存在正自相关dL D W dU不能确定dU D W 4 dU无自相关4 dU D W 4 dL不能确定4 dL D W 4存在负自相关 0dLdU24 dU4 dL 正相关 不能确定 无自相关 不能确定 负相关 1 加大样本容量或重新选取样本 重做DW检验 有时DW值会离开不确定区 当DW值落在 不确定 区域时的处理方法 2 选用其它检验方法 附表中 DW检验表 给出DW检验临界值 P390 DW检验临界值与三个参数有关 1 检验水平 2 样本容量n 3 原回归模型中解释变量个数k 包括常数项 例 D W检验 由 取 5 由于n 32 k 2 包含常数项 本书后表中的k 不含常数项 查表得 dl 1 37 du 1 50由于DW 0 124 dl 故 存在正自相关 得DW 0 124 注 Eviews检验结果中包含DW值 例 D W检验 取 5 由于n 32 k 2dl 1 37 du 1 50由于DW 0 124 dl 故 存在正自相关 注意 1 因为DW统计量是以解释变量非随机变量为条件得出的 所以当有滞后的内生变量 Y 作解释变量时 DW检验无效 2 DW统计量不适用于高阶自相关检验 3 DW统计量不适用于联立方程模型中各方程的序列自相关检验 4 拉格朗日乘数 Lagrangemultiplier 检验 拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷 适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形 它是由布劳殊 Breusch 与戈弗雷 Godfrey 于1978年提出的 也被称为GB检验 对于模型 如果 则怀疑随机扰动项存在p阶序列相关 GB检验相当于检验如下受约束回归方程 约束条件为 H0 1 2 p 0 用估计 式得到的残差建立辅助回归式 给定 查临界值 2 p 与LM值比较 做出判断 这表明如假设成立 则ut不存在p阶自相关 注 实际检验中 可从1阶 2阶 逐次向更高阶检验 估计上式 并计算可决系数R2 构造LM统计量 GB检验方法 例 拉格朗日乘数检验 GB检验 考虑1阶滞后 6 32 6 67 26 73 R2 0 9623 于是 LM 31 0 9623 29 83取 5 2分布的临界值 20 05 1 3 84LM 20 05 2 故 存在一阶序列相关 得 例 拉格朗日乘数检验 GB检验 考虑2阶滞后 1 71 1 71 2 69 0 18 R2 0 9620 于是 LM 30 0 9620 28 86取 5 2分布的临界值 20 05 2 5 991LM 20 05 2 故 存在二阶序列相关 得 利用Eviews工具GB检验步骤如下 从EViews主菜单中点击Quick键 并选择EstimateEquation功能从而打开EquationSpecification 模型设定 对话框 在EquationSpecification窗口输入命令 YCX 点击OK键 得回归结果 数据输入如前 在回归结果窗口选择功能鍵 View ResidualsTests SerialCorrelationLMTest 出现对话框 选择判定阶数 得结果 一阶序列相关检验结果如下 于是 LM 30 08 伴随概率p 0 000 0 05 故 存在一阶序列相关 二阶序列相关检验结果如下 于是 LM 30 15 伴随概率p 0 000 0 05 故 只存在一阶序列相关 14 3序列相关的补救 如果模型被检验证明存在序列相关性 则需要发展新的方法估计模型 1 如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致 那么就应当修改模型的数学形式 怎样查明自相关是由于模型数学形式不妥造成的 一种方法是用残差对解释变量的较高次幂进行回归 然后对新的残差作DW检验 如果此时自相关消失 则说明模型的数学形式不妥 克服自相关 2 如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的 那么解决办法就是找出略去的解释变量 把它作为重要解释变量列入模型 怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起的 一种方法是用残差对那些可能影响因变量 但又未列入模型的解释变量回归 并做显著性检验 从而确定该解释变量的重要性 如果是重要解释变量 应该列入模型 这种变换方法称作广义最小二乘法 GLS Generalizedleastsquares 另一种变换方法是广义差分法 GeneralizedDifference 只有当以上两种引起自相关的原因都消除后 才能认为误差项ut 真正 存在自相关 在这种情况下 解决办法是变换原回归模型 使变换后的随机误差项消除自相关 进而利用普通最小二乘法估计回归参数 一 广义最小二乘法 设原回归模型是 利用差分法 求模型 的 t 1 期关系式 并在两侧同乘 ut ut 1 vt vt满足通常的假定条件 把上式代入原模型 用 式与 相减得 Yt Yt 1 B1 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt ut t 1 2 n 如果其中ut具有一阶自回归形式 如何去掉自相关 vt ut ut 1 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt ut 1 vt Yt 1 B1 B2X2t 1 B3X3t 1 BkXkt 1 ut 1 14 3序列相关的补救 令 则模型表示如下 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt vt 上式中的误差项vt是非自相关的 满足假定条件 所以可对上式应用最小二乘法估计回归参数 所得估计量具有最佳线性无偏特性 上式中的B2 Bk就是原模型 中的B2 Bk 而B1 与模型 中的B1有如下关系 B1 B1 1 Yt Yt Yt 1Xjt Xjt Xjt 1 j 2 kB1 B1 1 上述变换称作广义差分变换 这种变换将损失一个观测值 样本容量变成 n 1 Yt Yt 1 B1 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt 二 广义差分法 广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差分模型 再进行OLS估计 如果原模型 存在p阶自回归相关 可以将原模型进行差分变换为 该模型为广义差分模型 不存在序列相关问题 可进行OLS估计 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt ut Yt 1Yt 1 pYt p B1 1 1 p B2 X2t 1X2t 1 pX2t p Bk Xkt 1Xkt 1 pXkt p vt 即 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt 1mt 1 2mt 2 pmt p et 注意 广义差分法 p 1时 就是上述广义最小二乘法 如 一阶序列相关的情况下 广义差分是估计模型 即是运用了广义最小二乘法 GLS 法 问题 进行广义最小二乘法时 要用到随机误差项的相关系数r 如何求 Yt Yt 1 B1 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt 三 随机误差项相关系数r的估计 应用广义最小二乘法或广义差分法 必须已知随机误差项的相关系数 1 2 p 实际上 人们并不知道它们的具体数值 所以必须首先对它们进行估计 常用的估计方法有 r 1 一阶差分法科克伦 奥科特 Cochrane Orcutt 迭代法 杜宾 durbin 两步法 1 r 1 一阶差分法 r介于0和正负1之间 有成百上千个选择 计量经济学广泛采用的是r 1 即误差项之间完全正相关 则此时的广义差分方程为一阶差分方程 即 只要对上式进行最小二乘法回归 Yt Yt 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt DY B2DX2 BkDXk vt 注 模型没有截距项 回归时选择通过原点即可 用EXCEL求一阶差分法结果 DY 485 67DX 用EVIEWS求一阶差分法结果 DY 485 67DX 取 5 由于n 31 k 1dl 1 36 du 1 50由于DW 0 124 dl 存在正自相关 2 杜宾 durbin 两步法Yi B1 B2Xi i 该方法是先估计 1 2 l 再对差分模型进行估计 第一步 变换差分模型为下列形式 进行OLS估计 得各Yj j i 1 i 2 i p 前的系数 1 2 p的估计值 Yt 1Yt 1 pYt p B1 1 1 p B2 Xt 1Xt 1 pXt p vt Yt 1Yt 1 pYt p B1 B2Xt B2 1Xt 1 B2 pXt p vt i 1 p 2 p n 于是 得Yi B 1 B 2Xi i Yi B1 B2Xi i 例 杜宾 durbin 两步法 第一步 首先估计模型 得 第二步 以估计出来的 1 16作差分变换 估计模型 3 09 3 42 R2 0 29F 11 68DW 1 877 取 5 由于n 31 k 2 查表得 dl 1 36 du 1 50由于4 dl 2 65 DW 1 939 du 故 已无一阶自相关 1 56 26 25 1 84 1 92 R2 0 986 则Y 关于X 的OLS估计结果为 利用Eviews进行杜宾 durbin 两步法 步骤如下 1 在EquationSpecification窗口输入命令 YCY 1 XX 1 点击OK键 得Y 1 的系数r 2 点击工作文件的功能键genr 将出现对话框 在出现的对话框中输入 Y1 Y r Y 1 回车 再输入 X1 X r X 1 回车 r是第1次回归时Y 1 的系数 Yt B1 B2Xt ut 3 作最小二乘估计 在主菜单选quick estimateequations进入输入估计方程对话框 分别输入Y1CX1 点OK 得出统计检验结果 4 作自相关检验 2 科克伦 奥科特迭代法 以一元线性模型为例 首先 采用OLS法估计原模型 Yi B1 B2Xi i 得到的 的 近似估计值ei 并以之作为观测值使用OLS法估计下式 i 1 i 1 2 i 2 p i p i 求出 i新的 近似估计值ei 并以之作为样本观测值 再次估计 i 1 i 1 2 i 2 p i p i Yi B1 B2Xi i 类似地 可进行第三次 第四次迭代 关于迭代的次数 可根据具体的问题来定 一般是事先给出一个精度 当相邻两次 1 2 L的估计值之差小于这一精度时 迭代终止 实践中 有时只要迭代两次 就可得到较满意的结果 两次迭代过程也被称为科克伦 奥科特两步法 实际计算中常用Eveiws软件实现科克伦 奥科特两步法 利用Eviews实现科克伦 奥科特两步法 步骤如下 以二阶差分为例 1 从EViews主菜单中点击Quick键 并选择EstimateEquation功能从而打开EquationSpecification 模型设定 对话框 2 在EquationSpecification窗口输入命令 YCXAR 1 AR 2 点击OK键 得结果如下 例 科克伦 奥科特迭代法 DW 1 87N 30 k 3 dU 1 57 dL 1 304 dU DW 1 87 dU 1 57已无一阶序列自相关又因为AR 1 系数检验显著 所以原模型存在一阶自相关 例 科克伦 奥科特迭代法 DW 2 03N 30 k 4 dU 1 65 dL 1 234 dU DW 2 03 dU 1 65无二阶序列自相关又因为AR 1 AR 2 系数检验均不显著 所以原模型不存在二阶自相关 14 4序列相关案例 中国商品进口模型 经济理论指出 商品进口主要由进口国的经济发展水平 以及商品进口价格指数与国内价格指数对比因素决定的 由于无法取得中国商品进口价格指数 我们主要研究中国商品进口与国内生产总值的关系 下表 1 通过OLS法建立如下中国商品进口方程 2 进行序列相关性检验 2 32 20 12 进一步的统计检验 1 DW检验 取 5 由于n 24 k 2 包含常数项 查表得 dl 1 27 du 1 45由于DW 0 628 dl 故 存在正自相关 2 拉格朗日乘数检验 0 46 0 67 6 17 3 76 R2 0 682 于是 LM 22 0 682 15 01取 5 2分布的临界值 20 05 2 5 991LM 20 05 2 故 存在正自相关 2阶滞后 进一步的统计检验 3阶滞后 0 72 0 91 4 50 2 082 0 476 R2 0 694 于是 LM 21 0 694 14 58取 5 2分布的临界值 20 05 3 7LM 20 05 3 表明 存在正自相关 但et 3的参数不显著 说明不存在3阶序列相关性 3 运用广义差分法进行自相关的处理 1 采用杜宾两步法估计 第一步 估计模型 1 76 6 64 1 76 5 88 5 19 5 30 第二步 作差分变换 则M 关于GDP 的OLS估计结果为 2 76 16 46 取 5 DW du 1 43 样本容量24 2 22 表明 已不存在自相关 于是原模型为 与OLS估计结果的差别只在截距项 2 采用科克伦 奥科特迭代法估计 在Eviews软包下 2阶广义差分的结果为 取 5 DW du 1 66 样本容量 22 表明