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文档简介

2 二重积分的变量替换公式 设为一个给定的二重积分 其中被积函数 在积分区域D上连续 现作变量替换 经过此变换后原来的xy平面上的区域D变换为uv平面 而这个变换的逆变换为 上的区域 如果这个变换满足 1 在 上具有一阶连续偏导数 2 在 上雅可比式 3 D与的点之间有一一对应关系 则有 二重积分的变量替换公式 面积元素 雅可比行列式 解 则 令 即 故 平面上任意一点的直角坐标 x y 极坐标 的一种变换 通过上式变换 且 这种变换是一对一的 3 极坐标下计算二重积分 极点原点 r为点 x y 到原点的距离 为向量 x y 的倾斜角度 所以由二重积分变量替换公式 可得到极坐标系下 二重积分变化公式为 要计算极坐标系下的二重积分 同样要把二重积分化为极坐标系下关于r和的累次积分 二重积分化为累次积分的公式 区域特征如图 区域特征如图 二重积分化为累次积分的公式 区域特征如图 二重积分化为累次积分的公式 区域特征如图 当积分区域为圆域 圆环域或部分圆域 宜采用极坐标 且 注 解 圆方程为 直线方程为 解 注 此积分在直角坐标系下无法计算 在极坐标系下 解 例3计算 其D为由圆 及直线 所围成的平面闭区域 解 根据对称性可知 所求面积 为第一象限部分面积的4倍 由 得交点 在极坐标系下 所求面积 二重积分在极坐标下的计算公式 小结 计算二重积分的基本步骤 总结 1 画出积分区域D的草图 2 根据被积函数的特点和积分区域的形状 选取适当的坐标系 3 选取适当积分次序 若不是标准区域 应先将 其分为若干个标准区域 4 确定积分限 从而把二重积分化为累次积分 5 计算累次积分 练习题
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