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文档简介

前n个正整数的平方和公式的推导已知，(n+1)3=n3+3n2+3n+1所以 (n+1)3-n3=3n2+3n+1依次有n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1 (n-1)3-(n-2)3=3(n-2)2+3(n-2)+1 (n-2)3-(n-3)3=3(n-3)2+3(n-3)+1 33-23=3*22+3*2+1 23-13=3*12+3*1+1以上的n个等式的两边分别相加得到：(n+3)3-1=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+n)+(1+1+1)所以(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3n(n+1)/2+n因此 12+22+32+n2=(n3+3n2+3n)-3n(n+1)/2-n/3=(2n3+3n2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n2=n的平方) 编辑本段证明方法证法一（归纳猜想法）： 1、N=1时，1=1（1+1）（21+1）/6=1 2、N=2时，1+4=2（2+1）（22+1）/6=5 3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+x2=x(x+1)(2x+1)/6 则当N=x+1时， 1+4+9+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2 =（x+1）2（x2）+x+6（x+1）/6 =（x+1）2（x2）+7x+6/6 =（x+1）（2x+3）（x+2）/6 =（x+1）（x+1）+12（x+1）+1/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。 证法二(利用恒等式(n+1)3=n3+3n2+3n+1） ： (n+1)3-n3=3n2+3n+1, n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1 . 33-23=3*(22)+3*2+1 23-13=3*(12)+3*1+1. 把这n个等式两端分别相加，得： (n+1)3-1=3(12+22+32+.+n2)+3(1+2+3+.+n)+n, 由于1+2+3+.+n=(n+1)n/2, 代入上式得： n3+3n2+3n=3(12+22+32+.+n2)+3(n+1)n/2+n 整理后得： 12+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1
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