机械陀螺的力学基础.ppt

2020年2月23日 惯性器件原理 主讲教师 黄卫权哈尔滨工程大学 惯性系统的两个基本的组成部件 陀螺加速度计 惯性技术中的许多问题可视为刚体绕定点的转动 所以 我们首先需要以力学知识为基础 在运动学上给予适当的描述 第二章力学基础知识 2 1定点转动刚体角位置的表示方法2 2惯性技术中常用的坐标系2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程2 4哥氏加速度 绝对加速度与比力方程 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 2 1 1定点转动刚体的自由度 自由度 确定物体在某坐标系中位置所需的独立坐标数目 一个物体在空间运动共有六个自由度 即3个位移自由度 3个转动自由度 陀螺的自由度 自转轴可绕其自由旋转的正交轴的数目 试给出下列陀螺的自由度数目 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 2 1 2用方向余弦描述定点转动刚体的角位置 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 x y z R i j k i j k为单位矢量 由图可得 其中 空间矢量的分解 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 空间坐标系 绕任一轴旋转一个角度后到达新的位置 即有新的坐标系 将新坐标系三个坐标轴分别投影到原坐标系中的三轴上 即 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 进而 可化为矩阵形式 即称为由坐标系到坐标系的方向余弦矩阵 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 方向余弦矩阵是 具有以下性质 两个方向余弦矩阵互为转置矩阵 两个方向余弦矩阵互为可逆矩阵 方向余弦矩阵的转置阵与可逆阵相等 因而可以得到矩阵等式 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 正交矩阵 2 1 3用欧拉角描述定点转动刚体的位置 刚体坐标系相对参考坐标系的角位置 可用三次独立转动的三个转角来确定 即欧拉法 这三个独立的转角即欧拉角 第一种欧拉角 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 最终得到0系与r系的坐标转换关系 最早的转动矩阵放在最右边 具体表达式是 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 第二种欧拉角 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 最终得到0系与r系的坐标转换关系 最早的转动矩阵放在最右边 具体表达式是 2 1定点转动刚体角位置的表示方法 第二章力学基础知识 2 1定点转动刚体角位置的表示方法2 2惯性技术中常用的坐标系2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程2 4哥氏加速度 绝对加速度和比力方程 2 2 1惯性参考坐标系 i系 惯性坐标系即满足牛顿力学定律的坐标系 一般取地球球心为原点 2 2惯性技术中常用坐标系 2 2 2地球坐标系 e系 原点在地心 z轴沿地轴方向 x y轴在赤道平面内 x轴指向零度子午线 y轴指向东经90度 坐标系与地球固连 2 2惯性技术中常用坐标系 2 2 3地理坐标系 t系 原点位于载体在地球变面的位置点 或在地表的投影点 x轴沿当地指东 y轴指北 载体相对地球的运动会使地理坐标系相对地球坐标系转动 它包括两部分 1 地理坐标系相对地球坐标系的转动角速度 2 地球坐标系相对惯性坐标系的转动角速度 2 2惯性技术中常用坐标系 2 2 4地平坐标系 n系 原点位于载体所在点 x y轴在当地水平面内 y轴沿载体航向方向 z轴沿当地垂线向上 2 2惯性技术中常用坐标系 2 2 5载体坐标系 b系 原点与载体质心重合 x轴沿载体横轴向右 y轴沿载体纵轴向前 z轴与之形成右手坐标系 2 2惯性技术中常用坐标系 2 2 5陀螺坐标系 第二章力学基础知识 2 1定点转动刚体角位置的表示方法2 2惯性技术中常用的坐标系2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程2 4哥氏加速度 绝对加速度和比力方程 2 3 1定点转动刚体的动量矩 绕定点o转动的刚体内所有质点动量对o点之矩的和 称为刚体对该点的动量矩 表达式为 又因为故 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 刚体质点的和可在动坐标系下分解为 同样地 动量矩在动坐标系下可分解为 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 当动坐标系的各轴与刚体的惯性主轴重合时 刚体对各动坐标系的惯量积都等于零 此时 定点转动刚体动量矩表达式可简化为 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 2 3 2动量矩定理 将动量矩表达式对时间求一阶导数 等式最右边第一项为零 第二项表示外力对o点的力矩和 用表示 故有 这就是矢量形式的动量矩定理 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 动量矩定理表明 刚体对任一定点的动量矩对时间的导数 等同于绕同一点作用于刚体的外力矩 注意 动量矩的变化率是以惯性坐标系为参考系 动量矩定理另一种表达将看成动量矩矢量端点的速度 即于是 动量矩定理又可写成定理表明 刚体对定点的动量矩的矢量速度 等于绕同一点作用于刚体的外力矩 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 2 3 3刚体定点转动的欧拉动力学方程 刚体动量矩在动坐标系中可表示为 惯性系中动量矩对时间求导 动坐标系中动量矩对时间求导 刚体定点转动的欧拉方程 实际即为动量矩定理在动坐标系中的表述 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 容易看出 所以有 最后可以写出动量矩的绝对导数和相对导数的关系 根据动量矩定理 可得 这就是矢量形式的欧拉动力学方程 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 沿动坐标系各轴投影 可以得到 动系各轴与刚体惯性主轴重合时 进一步得到 2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程 第二章力学基础知识 2 1定点转动刚体角位置的表示方法2 2惯性技术中常用的坐标系2 3动量矩 动量矩定理及欧拉动力学方程2 4哥氏加速度 绝对加速度和比力方程 2 4 1哥氏 Coriolis 加速度产生分析 2 4哥氏加速度 绝对加速度与比力方程 2 4 1哥氏 Coriolis 加速度 哥氏加速度是由于相对运动和牵连运动相互影响而形成的 哥氏加速度一般表达式 2 4哥氏加速度 绝对加速度与比力方程 2 4 2绝对加速度的表达式 哥氏定理 由图 可以写出位置矢量方程 在惯性系中 对时间求一阶导 其中 所以 2 4哥氏加速度 绝对加速度与比力方程 对时间再次求导 有 又因为 最终得到载体绝对加速度的表达式 2 4哥氏加速度 绝对加速度与比力方程 当动点的牵连运动为转动时 动点的绝对加速度应等于相对加速度 牵连加速度与哥氏加速度的矢量和 2 4 3比力方程 惯导系统中 加速度是由加速度计测量的 加速度计实际测量点不是载体的