2019年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习新人教A版.docx

第一课时等比数列的前n项和 1.等比数列an的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是(B)(A)179(B)211(C)248(D)275解析:由16=81q4,q0得q=,所以S5=211.故选B.2.在等比数列an中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是(A)(A)(B)-(C)(D)3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a40,a80,因此a60(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6=.故选A.3.等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列an的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列an中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于(C)(A)2(B)(C)4(D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q=4,故选C.5.等比数列an的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为(B)(A)0(B)1(C)3(D)不存在解析:法一当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1,=3.又a1=S1=3-a,a2=23=6,则=.因为an是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(C)(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为an,易知an是公比q=的等比数列,S6=378,S6=378,所以a1=192,所以a6=192=6,故选C.8.设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列an中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=.解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,b5=a13+a14+a15,依题意bn构成等比数列,其首项b1=1,公比为q=-2,则bn的前5项和即为an的前15项和S15=11.答案:1110.在等比数列an中,公比q=,且log2a1+log2a2+log2a10=55,则a1+a2+a10=.解析:据题意知log2(q1+2+9)=log2(q45)=55,即=2100.又an0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列an 的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,求Sn的值.解:因为Sn=2an+1,所以n2时,Sn-1=2an.因为an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,所以3an=2an+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以an从第二项起是以为公比的等比数列.所以Sn=a1+a2+a3+an=1+=()n-1.13.知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).设等比数列bn-an的公比为q,由题意得q3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).数列3n的前n项和为n(n+1),数列2n-1的前n项和为=2n-1.所以数列bn的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)求证是等比数列,并求an的通项公式;(2)求证+.证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3(an+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以an+=,因此an的通项公式为an=.(2)由(1)知=.因为当n1时,3n-123n-1,所以.于是+1+=(1-).所以+0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列bn的第2项,第3项,第4项.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设数列cn对于任意nN*均有+=an+1成立,求c1+c2+c3+c2 015+c2 016的值.解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此an=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列bn是首项为