直线与点的位置关系.doc

24 直线与点以及两直线的相对位置一、直线上的点 直线上的点有以下特性：(1) 点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。反之,如果点的投影均在直线的同面投影上，则点必在该直线上，否则点不在该直线上。如图119所示，点K的投影k、均在直线AB的H、V、W投影上，所以点K在直线AB上。如图220所示，点C的V面投影虽然在上，但是点C的H面投影c不在ab上，所以点C不在直线AB上。(2) 直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。如图219所示，点K在直线AB上，则AB：ak:kb=。由上述可知，点是束在直线上，在一般情况下根据两面投影即可判定。但当直线为某一投影面平行线，而已知的两个投影为该直线所不平行的投影面的投影时，则不能直接总协定。如图221a所示，AB为侧平线，而图中却只给出其正面投影及水平投影ab。此时，虽然点K和点S的正面投影、及水平投影k、s均落在和ab上，但仍不能总判定出点K和点S是否在AB上。其判别方法如下： 方法一 定比法如图221b所示，自a任引直线 a=,连a，在a上量取=，过作的平行线，发现该线不过k,则点K不在直线AB上。过作的平行线，发现该线过s，则点A在直线AB上。方法二 补投影法即补出已知投影面平行线在所平行的投影面上的投影及已知点的投影。如图221c所示，直线为侧平线，应补出其侧面投影，补后发现在上，可判定点S在直线AB上；不在上，可判定点K不在直线AB上。从图221d中可看出：点S在直线AB上、点K不在直线AB上的空间情况。二、两直线的相对位置 两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。平行和相交的两直线都是属于同一平面（共面）的直线，而交叉两直线则是不同一平面（异面）的直线。下面分别讨论它们的投影特性。（一）直线平行（1）如果空间两直线互相平行，则两直线的同面投影必定互相平行。反之，若两直线的同面投影都互相平行，则两直线 在空间也必定互相平行。证明如下：如图222所示AB和CD是互相平等的两直线，将它们向H面投影时，由于投影线AaBbCcDd，投射线与AB和CD所构成的两个平面AabB和CcdD也互相平行，因此，两平面与H面的交线也必定互相平行，即abcd。同理，AB和CD的正面投影和侧面投影也必互相平行即;（2）两直线平行，其长度之比等于各同面投影长度之比。如图222所示 ，若ABCD，则AB：CD=ab:cd=:=:。（二）两直线相交 如果两直线 在空间相交，则它们的各同面投影必相交，且交点符合一个点的投影规律。反之，如果两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间必定相交。如图223所示，AB和CD为相交两直线，其交点K为两直线的共有点。根据直线上点的投影特性，则点K的下面投影既在上，又应在上，所以和的交点就是交点K的正面投影。同理，ab和cd的交点k分别是交点K的水平投影和侧面投影。所以k、必符合一个点的投影规律，即kOX，kOZ。例24 如图224所示，过点阵字库A作直线AB与直线CD相交于点K，且点K，且点K距离H面12mm，点B在点A右方25mm处。 分析 由于抽求直线AB与已知直线CD相交，则其交点K的投影应在CD的同面投影上。又点K跟H面12mm，即点K的正面投影蹑OX轴12mm。据此即可作出交点K的投影。然后，连接A与K，并延长，使另一端点B在点A右方25mm处，直线AB即为所求。作图步骤（如图224b所示）：（1）X轴上方12mm作水平线交于，并由求得k。k、即为交点k的两个投影。（2）连接a、k和、，并分别延长到点A右方25mm处得b、。ab和即为所求直线AB的两面投影。（三）两直线交叉 如果空间两直线既不平行，又不相交，则称为两直线交叉。交叉两直线不存在共有点，但必存在重影点。其同面投影表面为相交的点，不符合一个点的投影规律，实际是两直线在处于同一投射线上的两点（重影点）的投影（重影）。重影点在某一投影中的可见性，一定要相应地从另一投影中用“前遮后、上遮下、左遮右”来判别。如图225a、b及c分别示出了两一般位置交叉及侧平线与一般位置直线交叉。图225a、b中，水平线投影ab、cd的“交点”，实际上是空间直线AB上的点和直线CD上的点的重合的投影，因为点和点位于向H面投射的同一条投射线上，所以它们的水平投影1（2）重合为一点。从正面投影中可看出，点比点的z坐标大（），所以点的水平投影1可见，点的水平投影（2）不可见，不可见的投影用括号括起。同样，正面投影和的“交点”，是CD上的点和AB上的点的重合的投影，点和点位