有限元第九讲.ppt

第八章几何非线性问题有限单元法 二 非线方程组的一般解法 三 几何非线性问题的平衡方程 四 结构的稳定问题 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 六 板的切线刚度矩阵 一 非线性问题的分类 第八章几何非线性问题有限单元法 一 非线性问题的分类 1 应变和位移的关系是非线性的 几何非线性 2 应力和应变的关系是非线性的 物理非线性 3 混合非线性 几何 物理双非线性 4 边界条件引起的非线性 接触问题等 工程中常遇到的是大位移 大转角 小应变的非线性问题 第八章几何非线性问题有限单元法 二 非线方程组的一般解法 其中 1 直接迭代法 2 Newton Raphson法 3 修正的Newton Raphson法 4 增量法 5 增量迭代法 6 增量弧长法 第八章几何非线性问题有限单元法 三 几何非线性问题的平衡方程 虚位移原理 假定 对非线性方程取微分 第八章几何非线性问题有限单元法 三 几何非线性问题的平衡方程 其中 所以 令 第八章几何非线性问题有限单元法 三 几何非线性问题的平衡方程 则有 单元切线刚度矩阵 线弹性初位移初应力 非线性问题增量方程 第八章几何非线性问题有限单元法 四 结构的稳定问题 1 结构稳定性的概念 1 结构稳定性的定义 2 失稳及失稳的种类 3 结构失稳的判别准则 2 结构的线性屈曲分析 1 结构线性屈曲的概念 2 结构线性屈曲的基本方程 为广义特征值问题 结构分析最关心的是最小特征值和相应的特征向量 第八章几何非线性问题有限单元法 四 结构的稳定问题 3 结构的非线性屈曲分析 非线性屈曲分析就是对结构的荷载 位移曲线进行全过程跟踪 从而确定 结构失稳的临界荷载 屈曲模态和屈曲后性能 1 概念 2 极值型平衡路径跟踪 3 临界点的确定 4 平衡路径的转换 第八章几何非线性问题有限单元法 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 位移模式与线性问题相同 在线性问题有限元列式的基础上建立几何非线性问题的有限元列式 关键在于构造几何矩阵 1 杆单元的切线刚度矩阵 第八章几何非线性问题有限单元法 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 1 杆单元的切线刚度矩阵 可得 第八章几何非线性问题有限单元法 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 1 杆单元的切线刚度矩阵 第八章几何非线性问题有限单元法 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 2 梁单元的切线刚度矩阵 第八章几何非线性问题有限单元法 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 2 梁单元的切线刚度矩阵 所以 第八章几何非线性问题有限单元法 六 板的切线刚度矩阵 第八章几何非线性问题有限单元法 六 板的切线刚度矩阵 第八章几何非线性问题的有限单元法 二 非线方程组的一般解法 三 几何非线性问题的平衡方程 四 结构的稳定问题 五 杆和梁单元的切线刚度矩阵 六 板的切线刚度矩阵 一 非线性问题的分类 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 1 基本概念 1 拉格朗日坐标和欧拉坐标 拉格朗日坐标 以未变形的构形为参考建立基本方程 又称物质坐标 欧拉坐标 以物体变形后的构形为参考建立基本方程 又称空间坐标 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 1 基本概念 2 T L法和U L法 以初始构形为参考构形 分析过程中参考构形保持不变 这种描述法称为T L法 以前一个相邻构形为参考构形 分析过程中参考构形不断更新变化 这种描述法称为U L法 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 2 基本变量 1 应变 a 柯西 Cauchy 应变 b 格林 Green 应变 c 阿尔曼西 Almansi 应变 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 2 基本变量 2 应变与位移的关系 a 格林 Green 应变 由 得 所以 得格林 Green 应变 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 2 基本变量 2 应变与位移的关系 a 格林 Green 应变 如 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 2 基本变量 2 应变与位移的关系 由 得 所以 得阿尔曼西 Almansi 应变 b 阿尔曼西 Almansi 应变 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 2 基本变量 3 应力 在变形后的物体上定义的应力 代表物体真实的应力 为与格林应变相适应 在未变形的物体上定义的应力 a 柯西 Cauchy 应力 b 克希霍夫 Kirchhoff 应力 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 2 基本变量 4 本构关系 a 小变形线弹性 b 大位移 大转动 小应变 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 以t 0时刻的构形为参考构形 t t时刻应力 应变 位移的增量关系 虚位移原理 格林 Green 应变 克希霍夫 Kirchhoff 应力 位移 根据格林应变的定义 3 T L法 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 3 T L法 将位移带入两式 增量应力和增量应变之间有线性关系 把以上各式带入虚功方程 并通过增量线性化处理 增量形式的T L方程 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 以t时刻的构形为参考构形 t t时刻应力 应变 位移的增量关系 虚位移原理 格林 Green 应变 克希霍夫 Kirchhoff 应力 位移 柯西 Cauchy 应力 根据格林应变的定义 可分解成线性和非线性两部分 4 U L法 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 其中 增量应力和增量应变之间的存在线性关系 把以上格式带入虚功方程 并通过增量线性化处理 增量形式的U L方程 4 U L法 第八章几何非线性问题的有限单元法 七 大位移问题增量解的T L法和U L法 5 T L法与U L法的区别 1 参考构形不同 2 T L法包含初位移矩阵 U L法不含此矩阵 平衡方程更为简洁 4 T L的坐标变换矩阵在增量求解的过程中保持不变 而U L每个迭代步都需重新计算坐标变换矩阵 5 U L更容易引进非线性本构关系 更适于非弹性大应变分析 3 T L法中 计算初应力和结点力时均采用克希霍夫应力 在求解过程中应力可直接叠加 U L法中计算初应力和结点力时采用的是柯西应力 因此须将求得的克希霍夫应力增量进行变换 才能叠加 第九章材料非线性问题的有限单元法 材料非线性 应力与应变的关系为非线性 且加载与卸载应力应变间的对应关系相同 1 非线性弹性 2 弹塑性 加载的过程中同时产生可恢复的弹性变形和不可恢复的塑性变形 弹塑性应力和应变间不再保持一一对应的关系 应变不仅依赖于当时的应力状态 而且还依赖于整个的加载历史 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 二 弹塑性问题有限元分析 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 1 材料的弹塑性性质 1 单向拉伸试验 理想弹塑性材料 应变硬化材料 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 1 材料的弹塑性性质 2 三点认识 a 由于弹塑性的应力 应变关系不是一一对应的 因此研究弹塑性问题时 只有在确定的加载 或卸载 条件下才有明确的意义 b 为了避免应力应变间的多值性带来的困难 不宜追求全应力与全应变之间的全量本构关系 应建立在一定加载路线条件下的增量关系 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 1 材料的弹塑性性质 2 三点认识 c 为简化分析 结构工程中可采用理想弹塑性模型和弹性线性强化模型 它们的主要参数仅有屈服应力 弹性模量和硬化 软化 模量H 主要特征是 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 E 屈服准则 单轴应力状态下 材料的屈服由两个屈服应力点来判定 在复杂应力状态下 材料的弹性极限成为应力空间中的一个曲面 曲线 函数f的具体形式与材料有关 称为屈服函数 f 0的面即为屈服面 初始屈服面 初始屈服函数 后继屈服面 后继屈服函数 1 基本概念 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 2 常用屈服准则 a Tresca准则 1864 当一点的最大剪应力达到极限值则发生屈服 b Mises准则 1913 当物体的形变改变能达到极限值则发生屈服 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 2 常用屈服准则 c Mohr Coulomb准则 1773 最大剪应力为屈服决定性因素 但剪应力的临界值不是常数 而是在那一点上同一平面中正应力的函数 d Rankine准则 1876 最大主应力达到抗拉强度时 材料发生拉伸破坏 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 单向拉伸屈服极限 定义等效应力 则初始屈服条件为 初始屈服条件 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 引进应力偏量 在一般应力状态下 则等效应力可表示为 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 记 则等效应力可表示为 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 与等效应力对应 定义等效应变 对于强化材料 在一个荷载增量作用下应力和应变都会增加一微小增量 其中应变增量为 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 由于塑性变形中的体积应变等于零 即 定义塑性应变增量的等效应变为塑性等效应变增量 塑性变形的泊松比等于0 5 所以塑性等效应变增量可表示为 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 记 则塑性等效应变增量可表示为 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 各向同性强化法则 运动强化法则和混合强化法则 强化法则 规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 2 屈服准则 3 Mises准则 即后继屈服强度仅与卸载前的等效塑性应变总量有关 其中的函数H反应了后继屈服应力对等效塑性应变总量的依赖关系 对于多数金属材料的分析均采用各向同性强化法则 对与一般应力状态 实验资料证明了以下的硬化规律 上式可写成增量形式 H 就是强化阶段等效应力和等效塑性应变关系曲线的斜率 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 Prandtl Reuss塑性流动理论 1 流动法则 规定塑性应变增量的方向 塑性理论认为 材料进入弹塑性状态后存在一个类似于弹性势能那样的势函数Q 称其为塑性势 由塑性势导出的塑性应变为 其中 在应力空间中 如果把应力势Q 0描写为一个曲面 则为曲面的法向矢量 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 Prandtl Reuss塑性流动理论 1 流动法则 表明上式定义的塑性应变增量与曲面Q 0正交 故称上式为正交流动法则 为流动矢量 塑性应变增量的大小 由确定 如果取塑性势函数与屈服函数相同 则称上式为关联流动法则 否则就是非关联流动法则 对于金属材料 一般采用关联流动法则 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 Prandtl Reuss塑性流动理论 2 Prandtl Reuss流动法则 关联流动法则 将等向强化Mises准则写成 则F即为后继屈服面 屈服面的位置决定于当时的材料中等效塑性应变总量 所以 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 Prandtl Reuss塑性流动理论 2 Prandtl Reuss流动法则 关联流动法则 前面已经整理出 很容易得到 上式两边的模相等 于是有 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 Prandtl Reuss塑性流动理论 2 Prandtl Reuss流动法则 关联流动法则 所以 这样Prandtl Reuss流动法则最终可表示为 由于在加载时应取正值 所以 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 增量形式的应力 应变关系 可得 由 上式可变化为 将Mises屈服准则写成微分形式 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 增量形式的应力 应变关系 所以有 由此可得等效塑性应变增量和总应变增量间的关系 再考虑流动法则 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 增量形式的应力 应变关系 可得 由以下三式 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 3 增量形式的应力 应变关系 弹塑性矩阵 第九章材料非线性问题的有限单元法 一 弹塑性应力 应变关系 4 切线模量H 的计算 1 对于理想弹塑性材料 2 对于双线性强化材料 斜率 E E H 第九章材料非线性问题的有限单元法 1 概述 对于小变形的弹塑性问题 几何方程与弹性分析相同 不同之处是单元的应力 应变关系可能是线性的和非线性的 因此集合单元得到的总刚度矩阵是与应力水平相关而出现的非线性方程组 二 弹塑性问题有限元分析 求解弹塑性问题 一般采用荷载增量法 当出现屈服点后 每次增加的荷载应适当减小 第九章材料非线性问题的有限单元法 2 单元刚度矩阵的计算 可分成三种情况 弹性单元 弹塑性单元和过渡单元 二 弹塑性问题有限元分析