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一阶微分方程积分因子的求法探讨 姓名：陈月凤 专业：数学与应用数学 学号：102260002034摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法关键词：一阶微分方程；积分因子1积分因子的定义若对于一阶微分方程 其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数若存在连续可微的函数，使得，为一恰当方程，即存在函数，使则称为方程的积分因子通过计算可得，函数为积分因子的充要条件为：，即 这是个以为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法2积分因子存在的充要条件定理1 方程具有形如的积分因子的充要条件为：证明 因为有积分因子的充要条件为令，则有，即并由此得出其积分因子为根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件2.1 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为，这里仅为的函数于是积分因子为2.2 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为，这里仅为的函数于是积分因子为2.3 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为例1求方程的积分因子解 因为， ，且，只与有关，于是有积分因子2.4 具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为例2 求方程的积分因子解 因为， ，且，于是积分因子为3 分组求积分因子法对于一些复杂的方程，往往不容易直接求出它们的积分因子，这是可以把它的左边分组，分别求出各组的积分因子，然后再求总的式子的积分因子例如分成两组： 可分别求出各组的积分因子和，也就是如果有，使：，于是借助，常可求得得积分因子定理2如果是的一个积分因子，且，则也是的积分因子此处是的任一连续函数而，其中是的一个原函数据此知，对任意的函数，及都分别是的第一组和第二组的积分因子函数、有着广泛选择的可能性，若能选择、使：，则就既是的第一组也是第二组的积分因子因而也就是的积分因子例3求方程的积分因子解 原方程改写为，显然，为使，只需取，于是求的原方程的一个积分因子：综上所述，该文介绍一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性参考文献：1 焦宝聪，王在洪，时红廷常微分方程M北京：清华大学出版社，20082 吴淼生关于非恰当方程积分因子的求法J宜春师专学报，1994，2（2）：15-233 钱伟长常微分方程的理论及其解法M北京：国防工业出版社19924 丁同仁，李承浩常微分方程教程M北京：高等教育出版社19915 王高雄，周之铭，王寿松常微分方
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