Poisson过程.ppt

1 随机数学 第二章泊松过程与更新过程教师 陈萍prob123 2 2 0计数过程定义称一个随机过程是一个计数过程 pointprocess 若N t 满足 1 N t 取非负整数值 2 若s t 则N t N s 等于区间 s t 中 事件 发生的次数 第二章Poission过程及更新过程 3 背景 考虑在时间间隔 0 t 中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N t 它是一个计数过程 此类过程有如下特点 1 零初值性 N 0 0 2 独立增量性 在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立 3 平稳增量性 在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的 4 普通性 在非常短的时间区段 t内的理赔次数几乎不可能超过1次 且发生1次理赔的概率近似与 t成正比 2 1Poission过程的定义 4 定义2 1 1计数过程 N t t 0 称为具有参数 或强度 的Poission过程 或Poission流 如果1 N 0 0 2 具有独立增量性 3 满足增量平稳性 4 对于任意t 0和充分小的 有其中为的高阶无穷小 又称为Poission过程的强度系数 易见 Poission过程是一个Levy过程 5 定理2 1 1若 N t t 0 为Poission过程 则 利用定理2 1 1 可得到Poission过程的等价定义 即 定义2 1 2计数过程 N t t 0 称为具有参数 或强度 的Poission过程 如果1 N 0 0 2 具有独立增量性 3 此即 6 例2 1 1设N t 表示 0 t 时段内事件A的发生次数 且 N t t 0 形成强度为 的Poisson过程 如果每次事件A发生时以概率p能够被记录下来 并以M t 表示到t时刻记录下来的事件总数 试证明 M t t 0 形成强度为 p的Poisson流 解 对照Poisson过程的定义2 1 21 M t t 0 是一计数过程 且M 0 0 2 每次事件发生时 对它的记录与对其它事件的记录独立 故 M t t 0 具有独立增量性 只需验证3 7 由全概率公式 8 设首次地震发生 t 0 后的一段时间内 破坏性余震发生序列是一个强度为 次 小时 的泊松过程 任意时刻t 0 以V t 表示t时刻之前最后一次破坏性余震直到t时刻所经历的时间 以W t 表示t时刻之后直到下一次破坏性余震发生的剩余时间 1 求V t 与W t 的分布函数 V t 与W t 独立吗 2 已知在此之前最后一次破坏性余震发生到现在已过了s小时 求未来t小时内没有破坏性余震发生的概率 EX 9 解 1 10 因为泊松过程是独立增量过程 故V t 与W t 独立 2 11 2 2泊松过程的性质2 2 1到达时间间隔与到达时刻的分布 设 N t t 0 为泊松过程 N t 表示在 0 t 内事件发生的次数 令 表示第k个事件发生的时刻 表示第k 1个事件与第k个事件发生的时间间隔 即 先讨论到达时间间隔的Tk分布 12 定理2 2 1 p62 到达时间间隔序列相互独立同分布 且服从参数为 的指数分布 定理2 2 1提供了Poisson过程的参数估计方法 EX 设事件的发生过程 N t t 0 为Poisson过程 某日从0点开始 记录到事件发生时刻为0 33 1 00 2 27 3 05 3 36的取值 t1 t2 tn T 试用极大似然法估计该过程的强度 13 参数 的极大似然估计 一般地 若从0时刻开始 观察到Poisson过程 N t t 0 的一段样本轨道 1 n的取值 t1 t2 tn 由于 1 2 1 n n 1独立同指数分布 于是似然函数为 令 得 的极大似然估计为 14 定理2 2 2到达时间的概率密度函数为 证明 定理2 2 2提供了Poisson过程的参数 的区间估计法 根据定理2 2 2 的概率密度函数为 备查 1 的特征函数为 分布函数为 15 取置信度为 则 故置信度为的置信区间为 这与的密度相同 即 16 推论设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 k 1为其到达时刻 则对任意的 0 上的可积函数f 有 17 例2 2 2设一系统在 0 t 内承受的冲击数 N t t 0 是参数为 的泊松过程 第i次受冲击的损失为Di 设 Di i 1 独立同分布 且与 N t t 0 独立 且损失随时间按负指数衰减 即t 0时损失为D 在t时损失为 设损失是可加的 那么到系统在 0 t 内受到冲击的损失之和为 其中 i为第i次冲击到达的时刻 求 18 定理2 2 3若计数过程 N t t 0 的到达时间间隔序列是相互独立同参数为 的指数分布 则 N t t 0 是参数为 的泊松过程 证明 定理2 2 3提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验的理论基础与方法 只需产生n个同指数分布的随机数 将其作为Ti i 1 即可得到Poisson过程的一条样本轨道 19 要检验 N t t 0 是否为Poisson过程 可转化为检验相邻两次跳跃间隔时间 Tn tn tn 1 n 1 是否为指数分布总体的i i d样本 课外练习 设观察到某记数过程 N t t 0 的一段样本轨道 1 50的取值如下 检验 N t t 0 是否为Poisson过程 0 03 0 76 1 01 1 37 1 43 1 56 1 95 3 95 4 05 4 45 4 70 4 81 4 85 5 00 5 87 6 32 6 36 6 40 6 85 6 90 8 33 8 85 8 95 11 26 12 25 13 04 13 85 14 11 14 76 15 56 17 65 17 80 18 20 18 24 18 62 19 06 19 14 19 46 20 26 20 46 20 55 22 51 22 70 23 19 23 28 23 63 23 80 24 22 24 81 25 65 20 EX 设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统 假定每位顾客的服务时间独立 均服从参数为 的指数分布 以N t 表示到t时刻为止已被服务过的顾客人数 求 1 E N t 2 第n位顾客等候服务时间的数学期望 3 第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率 提示 的分布函数是 21 解 1 由定理2 2 3 N t t 0 为强度 possion过程 故E N t t 2 记第n位顾客完成服务的时间为 根据定理2 2 2 第n位顾客等候服务时间为 3 根据定理2 2 2 或 22 2 2 2到达时刻的条件分布 本节讨论在给定N t n的条件下 的条件分布及其有关性质 这个定理说明 由于泊松过程具有平稳独立增量性 从而在已知 0 t 上有1个事件发生的条件下 事件发生的时间 1应该服从 0 t 上的均匀分布 对此我们自然要问 1 这个性质是否可推广到的情形 2 这个性质是否是泊松过程特有的 换言之 其逆命题是否成立 定理2 2 4设是泊松过程 则对有 23 为回答 1 需要如下关于顺序统计量的性质 若 Ui 1 i n 在 0 t 上独立同均匀分布 则其顺序统计量的联合密度函数为 定理2 2 5设 N t t 0 为参数 或强度 的泊松过程 若在 0 t 内有n个事件相继到达 则n个到达时刻的联合分布和n个 0 t 上独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布相同 24 设一系统在 0 t 内承受的冲击数 N t t 0 是参数为 的泊松过程 第i次受冲击的损失为Di 设 Di i 1 独立同分布 且与 N t t 0 独立 且损失随时间按负指数衰减 即t 0时损失为D 在t时损失为 设损失是可加的 那么到系统在 0 t 内受到冲击的损失之和为 其中 i为第i次冲击到达的时刻 求 EX 用定理2 2 5解例2 2 2 25 则 N t t 0 为泊松过程 证略 定理2 2 6设 N t t 0 为计数过程 Tn为第n个事件与第n 1个事件的时间间隔 独立同分布且分布函数为F x 若F 0 0 且对 都有 对问题 2 即逆命题 有如下定理 定理2 2 7设 N t t 0 为跃度为1的计数过程 满足 t 0 N t P t 且在N t n条件下 的条件概率密度是 则 N t t 0 为泊松过程 证略 思考 如何利用以上定理对泊松过程进行计算机模拟和检验 26 2 3Poission过程的推广 3 若 则 定理2 3 1 1 X t t 0 是平稳独立增量过程 2 其特征函数为 定义2 3 1设 N t t 0 为强度为 Poission过程 Yi i 1 是独立同分布的随机变量序列 且 Yi i 1 与 N t t 0 独立 记 称 X t t 0 为复合Poission过程 compoundpoissonprocesses 27 例2 3 1设保险公司在 0 t 时段内接到的索赔次数N t 形成强度为 的Poisson流 且设保险公司第i次赔偿额是Yi Yi i 1 2 独立同正态分布 则每月要付出的赔偿额服从什么分布 一年中它要付出的平均金额是多少 解 0 t 内赔偿额形成复合Poission过程 每月要付出的赔偿额特征函数为 一年中它要付出的平均金额是 28 条件Poisson过程定义2 3 2设 是一个正的随机变量 分布函数为G x x 0 设 N t t 0 是一计数过程 且当给定 时 N t t 0 是一Poisson过程 即 有 称 N t t 0 是条件Poisson过程 定理2 3 2设 N t t 0 是条件Poisson过程 且则 2 E N t tE 3 29 例2 3 2设意外事故的发生频率受某种未知因素影响 有两种可能 1 2 且 0 p 1为已知 且当给定 i时 0 t 时段内事故次数N t 形成一强度为 iPoisson流 已知到时刻t为止已发生了n次事故 求 t t s 时段内无事故的概率 解 在 i的条件下 N t 是强度为 i的Poisson流 P t t s 时段内无事故 N t n 30 31 非齐次Poisson过程 当Poisson过程的强度 随时间t变化时 Poisson过程被推广成为非齐次Poisson过程 在实际中 非齐次Poisson过程也是比较常用的 例如在考虑设备故障率时 由于设备使用年限的变化 出故障的可能性会随之变化 放射性物质的衰变速度 会因各种外部条件的变化而随之变化 昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等 定义2 3 3随机过程 N t t 0 称为具有强度函数 t 的非齐次Poisson过程 如果1 是一计数过程 且N 0 0 2 具有独立增量性 3 对任意实数t 0 s 0 N t s N t 为具有参数的Poisson分布 32 设某设备的使用期限为10年 在前5年内它平均2 5年需要维修一次 后5年平均2年需要维修一次 试求它在使用期内只维修过一次的概率 EX 33 2 4更新过程 一个计数过程 若它们相邻事件到达时间间隔Tn是指数分布 则此过程为Poisson流 若是一般分布 则此过程为更新过程 renewalprocesses 更新机器零件问题是更新过程的典型例子 某机器上有一个零件是易损件 每当它损坏时 就要换上新的零件 t 0时开始装上一个零件 机器持续地运转一段时间T1 该零件损坏 立即用寿命T2的零件来更换 这样不断地进行下去 关于这一列 Tn 的更新过程 N t t 0 就表示到t时刻为止更换的零件数 34 则称 N t t 0 为更新过程 2 4 1更新过程的定义 显然 更新过程是一个计数过程 在更新过程中 我们将事件发生一次叫作一次更新 从而定义中Tn就是第n 1次和第n次更新相距的时间 n是第n次更新发生的时刻 N t 就是t时刻之前发生的总的更新次数 定义2 4 1设为独立同分布的非负随机变量序列 分布函数为F x 且F 0 1 令 0 0 记 35 更新过程一定是独立增量过程吗 设 36 更新过程的基本结论 过程的统计特性可由序列的共同分布完全刻画 N t 是关于t的单调递增阶梯函数 对于固定的t N t 为取非负整数值的随机变量 的分布函数为 即在有限时间内不可能进行无穷次更新 N t 的概率分布为 37 例2 4 1设更新过程的更新间距服从参数为m 的Gamma分布 即的概率密度函数为求解 备查 1 的特征函数为 分布函数为 38 令 称为过程 N t t 0 的更新函数 定理2 4 1对 若F t 1 则有 2 4 2更新函数 定理2 4 2更新过程 N t t 0 可由其更新函数M t 唯一确定 证 证 引理更新函数是自变量的单调递增 有界且右连续函数 证略 39 例2 4 2设更新过程 N t t 0 具有更新函数 求更新间距T的分布 解 设T的概率密度为f t 则 故更新间距T服从指数分布 N t t 0 为Poison过程 4 拉氏变换简表 40 2 4 3更新过程的极限性质 定理2 4 3 推论 定理2 4 4设 N t t 0 为更新过程 Tn n 1 共同的分布函数为F x Tn的期望为 方差为 2 则 y R 证明参见 S M Ross 随机过程 中国统计出版社 定理3 3 5 41 某收音机使用一节电池供电 当电池失效时 立即换一节同型号的新电池 如果电池的寿命为均匀分布在30小时到60小时内的随机变量 问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率为多少 解设N t 表示在t时间内失效的电池数 则由推论 在长时间工作情况下 电池的更新速率为而故电池的更新速率为1 45 EX 42 2 4 1 2 4 4更新方程 定义2 4 2设已知函数a t 及分布函数F t 若未知函数A t 满足如下积分方程 则称 2 4 1 式为更新方程 定理2 4 5 更新函数M t 满足下列更新方程 2 4 2 定理2 4 6若未知函数A t 满足更新方程 2 4 1 则其解为 43 例2 4 3设 N t t 0 为更新过程 其更新间距T的分布函数为F t 记表示t时刻的剩余寿命 对任意固定z 0 令 求证满足更新方程 EX 设 试用定理2 4 6解出 答案 44 定理2 4 7 关键更新定理 设F x 是均值为 的非负随机变量的分布函数 F 0 1 a t 是Riemann直接可积的 则更新方程 1 若F是非格点的 则 2 若F是周期为d的格点的 c 0 有 的解A t 满足