（浙江专用）2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案.docx

第1讲直线与圆直线的方程核心提炼1三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|.(2)点到直线的距离：d(其中点P(x0，y0)，直线方程：AxByC0)(3)两平行直线间的距离：d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20)2两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在典型例题 (1)(2019温州十五校联合体联考)已知直线l1：mx(m1)y20，l2：(m1)x(m4)y30，则“m2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2019浙江新高考冲刺卷)已知mR，若点M(x，y)为直线l1：myx和l2：mxym3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|MB|的最大值为_【解析】(1)当m2时，直线l1，l2的斜率分别为k12，k2，此时k1k21，则l1l2.而m1时，也有l1l2，故选A.(2)动直线l1：myx过定点A(0，0)，动直线l2：mxym3化为m(x1)(y3)0，得x1，y3.过定点B(1，3)因为此两条直线互相垂直，所以|MA|2|BM|2|AB|210，所以102|MA|MB|，所以|MA|BM|5，当且仅当|MA|MB|时取等号【答案】(1)A(2)5解决直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在 对点训练1若两平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是，则mn()A0B1C2D1解析：选C.因为l1，l2平行，所以1n2(2)，解得n4，即直线l2：x2y30.又l1，l2之间的距离是，所以，得m2或m8(舍去)，所以mn2，故选C.2(2019金丽衢十二校高考模拟)直线l：xy230(R)恒过定点_，P(1，1)到该直线的距离最大值为_解析：直线l：xy230(R)即(y3)x20，令，解得x2，y3.所以直线l恒过定点Q(2，3)，P(1，1)到该直线的距离最大值为|PQ|.答案：(2，3)3在ABC中，A(1，1)，B(m，)(1m4)，C(4，2)，则当ABC的面积最大时，m_解析：由两点间距离公式可得|AC|，直线AC的方程为x3y20，所以点B到直线AC的距离d，所以ABC的面积S|AC|d|m32|，又1m4，所以10，表示以为圆心，为半径的圆典型例题 (1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_【解析】(1)由题可得a2a2，解得a1或a2.当a1时，方程为x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程不表示圆(2)设圆心为(a，0)(a0)，则圆心到直线2xy0的距离d，得a2，半径r3，所以圆C的方程为(x2)2y29.【答案】(1)(2，4)5(2)(x2)2y29求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程 对点训练1圆心在曲线y(x0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225解析：选A.y，令2，得x1，得平行于直线2xy10的曲线y(x0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2xy10相切的圆的面积最小，此时圆的半径为，故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.2过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2B8C4 D10解析：选C.设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，所以M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，所以|MN|4.3(2019宁波镇海中学高考模拟)已知圆C：x2y22x4y10上存在两点关于直线l：xmy10对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则m_； |MP|_解析：因为圆C：x2y22x4y10上存在两点关于直线l：xmy10对称，所以直线l：xmy10过圆心C(1，2)，所以12m10.解得m1.圆C：x2y22x4y10，可化为(x1)2(y2)24，圆心(1，2)，半径r2，因为经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，所以|MP|3.答案：13直线与圆、圆与圆的位置关系核心提炼1直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相交；dr相切；dr相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离2圆与圆的位置关系的判定(1)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d|r1r2|(r1r2)两圆内含典型例题 (1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切 D相离(2)已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3 B.C2 D2【解析】(1)由题知圆M：x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以2 2，解得a2.圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，故两圆相交(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2(y1)21，所以圆心为(0，1)，半径为r1，四边形PACB的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kxy40的距离d，此时d，即k24，因为k0，所以k2.【答案】(1)B(2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量 (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题对点训练1(2019高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_解析：法一：设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线方程为l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，则r.法二：因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(2，1)，所以21，所以m2，r.答案：22(2019绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点A(0，1)，若两圆与直线4x3y50及y10均相切，则|O1O2|_解析：如图，因为原点O到直线4x3y50的距离d1，到直线y1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，设O2(a，b)，则由题意：，解得.所以|O1O2|.答案：直线、圆与其他知识的交汇问题核心提炼高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新典型例题 (1)在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_(2)(2019广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为_【解析】(1)设P(x，y)，则由20可得，(12x)(x)(y)(6y)20，即(x6)2(y3)265，所以P为圆(x6)2(y3)265上或其内部一点又点P在圆x2y250上，联立得解得或即P为圆x2y250的劣弧MN上的一点(如图)易知5x1.(2)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20配方得，(xa)2y24，x2(y2b)21，依题意得两圆相外切，故123，即a24b29，()()21，当且仅当，即a22b2时等号成立，故的最小值为1.【答案】(1)5，1(2)1对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法 对点训练1(2019浙江新高考冲刺卷)如图，直线x2ya与圆x2y21相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若a，则实数a的值为()A.B.C. D.解析：选A.cosAOBa，所以AB，所以O到直线AB的距离d，又d，所以 ，解得a或a1(舍)2已知圆C：(xa)2(yb)21，设平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为_解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C(a，b)，半径r1，且圆C与x轴相切，所以b1.而直线y1与可行域边界的交点为A(6，1)，B(2，1)，目标函数za2b2表示点C到原点距离的平方，所以当点C与点A重合时，z取到最大值，zmax37.答案：37专题强化训练1(2019杭州二中月考)已知直线3xy10的倾斜角为，则sin 2cos2()A.BC.D解析：选A.由题设知ktan 3，于是sin 2cos2.2(2019义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A. B.C5 D10解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故选D.3(2019杭州七市联考)已知圆C：(x1)2y2r2(r0)设条件p：0r3，条件q：圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.圆C：(x1)2y2r2(r0)，圆心(1，0)到直线xy30的距离d2.由条件q：圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1，可得0r3.则p是q的充要条件故选C.4在平面直角坐标系xOy中，设直线l：ykx1与圆C：x2y24相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于()A1 B2C1 D0解析：选D.由题意知圆心到直线l的距离等于r1(r为圆C的半径)，所以1，解得k0.5(2019兰州市诊断考试)已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t，0)，B(t，0)(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则t的取值范围是()A(0，2 B1，2C2，3 D1，3解析：选D.依题意，设点P(cos ，1sin )，因为APB90，所以0，所以(cos t)(cos t)(1sin )20，得t252cos 2sin 54sin()，因为sin()1，1，所以t21，9，因为t0，所以t1，36圆C：x2y2DxEy30(D0，E为整数)的圆心C到直线4x3y30的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|4，则E的值为()A4 B4 C8 D8解析：选C.圆心C.由题意得1，即|4D3E6|10，在圆C：x2y2DxEy30中，令y0得x2Dx30.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1x2D，x1x23.由|MN|4得|x1x2|4，即(x1x2)24x1x216，(D)24(3)16.由D0，所以D2.将D2代入得|3E14|10，所以E8或E(舍去)7动点A与两个定点B(1，0)，C(5，0)的距离之比为，则ABC面积的最大值为()A3 B6 C9 D12解析：选D.设A点坐标为(x，y)因为，所以2，化简得x2y26x70，即(x3)2y216.所以A的轨迹表示以(3，0)为圆心，半径为4的圆所以ABC面积的最大值为Smax|BC|r6412.8(2019浙江省名校联盟质量检测)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2y214相交于A、B两点，则|AB|的最小值是()A2 B4 C. D2解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求|AB|的最小值等价于求d的最大值，易知dmax，此时|AB|min24，故选B.9过点M的直线l与圆C：(x1)2y24交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_解析：易知当CMAB时，ACB最小，直线CM的斜率为kCM2，从而直线l的斜率为kl，其方程为y1.即2x4y30.答案：2x4y3010已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m_.解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切答案：5或211已知圆C：(x1)2(y2)22，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为_解析：已知圆C：(x1)2(y2)22，所以圆心为C(1，2)，半径r，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PCAB.在PAC中，APC30，由正弦定理得，所以|PC|2sinPAC2，故|PC|的最大值为2.答案：212(2019台州调研)已知动圆C过A(4，0)，B(0，2)两点，过点M(1，2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为_解析：依题意得，动圆C的半径不小于|AB|，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时点C是线段AB的中点，即点C(2，1)，又点M的坐标为(1，2)，且|CM|，所以点M位于圆C内，点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF|最小，其最小值为22.答案：213(2019宁波市余姚中学期中检测)设直线系M：xcos (y2)sin 1(02)，对于下列四个命题：M中所有直线均经过一个定点；存在定点P不在M中的任一条直线上；对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)解析：因为点(0，2)到直线系M：xcos (y2)sin 1(02)中每条直线的距离d1，直线系M：xcos (y2)sin 1(02)表示圆x2(y2)21的切线的集合，由于直线系表示圆x2(y2)21的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点不可能，故不正确；存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故正确；如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如ABB型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相等，故不正确答案：14(2019南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y(x1)上从左向右依次取点Ak，Bk(k1，2，其中A1是坐标原点)，使AkBkAk1都是等边三角形，则A10B10A11的边长是_解析：直线y(x1)的倾斜角为30，与x轴的交点为P(1，0)，又A1B1A2是等边三角形，所以PB1A290，所以等边A1B1A2的边长为1，且A2B1A3B2A10B9，A2B1与直线y(x1)垂直，故A2B1B2，A3B2B3，A4B3B4，A10B9B10均为直角三角形，且依次得到A2B22，A3B34，A4B48，A5B516，A6B632，A7B764，A8B8128，A9B9256，A10B10512，故A10B10A11的边长是512.答案：51215在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为yx2(x)由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(，)，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值16已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标解：(1)圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为ykx，由，得k2；所以此切线方程为y(2)x.当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.所以此切线方程为xy10或xy30.综上，此切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得|PO|2|