第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION3.doc

3 仿射坐标系一、 仿射坐标系与度量系数 仿射坐标 在三维欧氏空间 V 欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，4.中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i，j，k时，则空间中的矢量a可表示为aax iay jaz k 一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e1，e2，e3，则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解，令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a可表示为aa1e1a2e2a3e3或简计作 VV 这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称为爱因斯坦约定.V aaieiaa1,a2,a3 ai VVV 这是张量写法.VV这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系，e1,e2,e3称为坐标矢量，a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标. 欧氏空间中度量系数 当矢量a写成上面的形式时，则它的长度a由(a)2(aiei)(ajej)(eiej)aiaj给出.令eiejgij(gji) (i，j1,2,3)则称gij为仿射坐标系的度量系数. 1 矢量a的长度由(a)2gijaiaj计算. 2 两个矢量aaiei，bbjej的夹角由cos计算. 3 因为gijaiaj是正定二次型，所以由gij所作的行列式混合积(e,e,e)2= =g(e,e,e)= 克罗内克尔符号 对称矩阵的逆矩阵用来表示.由逆矩阵的性质，有gij=gji和gikgkj=式中=称为克罗内克尔符号. 互易矢量 利用这个gij规定ei=gijej因而有ej=gijeieiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=eiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gil=gij 对e,e,e，可以得到e1=(e2e3),e2=(e3e1), e3=(e1e2)e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量. gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.二、 逆变矢量与协变矢量 逆变矢量与协变矢量 如果矢量a在坐标系e,e,e中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式aa1e1a2e2a3e3=aiei给出，则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量ai称为逆变矢量(或称为抗变矢量). 如果关于坐标矢量e,e,e的互易矢量为e1,e2,e3，矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式aa1e1a2e2a3e3=ajej给出，则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标，而矢量aj称为协变矢量. 在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系ai=aei=(ajej)ei=aj(ejei)=ajgji逆变矢量与协变矢量的标量积 如果a , b为两个矢量，a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的逆变坐标，则ab=gijaibj 如果a , b为两个矢量，a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的协变坐标，则ab=gijaiaj如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1 ,b2 ,b3 , 则ab=aibi三、 n维空间 n维空间的定义 如果空间中的点与n个独立实数x1，xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间 V n维实数空间另一定义见第二十一章，3.(简称n维空间)，记作Rn.所以空间中一点M对应于一组有序数x，xn；反之，一组有序数x，xn对应于一点M.这样的一组有序数(x，xn)称为n维空间Rn中一点M的坐标. n维空间中的矢量 在n维空间Rn中取一定点O，坐标为(0,0,0)，另外一点M(x1，x2，xn)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径. 假定在Rn中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(xi)的坐标的关系是rx1e1xnenxiei式中e1，en是Rn中n个线性无关的矢量，这种坐标系e1,en称为Rn中的仿射坐标系，x1，xn称为Rn中矢量r的仿射坐标. 在三维空间中所讨论的许多结果，在n维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了. 逆变矢量与协变矢量 在n维空间Rn中考虑一个任意坐标变换 VV 这里用表示同一点M（xi）在另一个坐标系中的坐标，就是说和表示同一点.用同一个核文字(如x)表示同一个对象，用指标上加一撇表示不同的坐标系（如等），这种记法叫核标法.V (1)其中函数关于xi有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数)，变换的雅可比式不等于零：因而(1)有逆变换 设a1,an为xi的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的逆变坐标，为坐标系中同一个矢量的逆变坐标.称矢量为逆变矢量. 如果ai按的形式变换，则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的协变坐标，称 为坐标系中同一矢量的协变坐标，称矢量为协变矢量. 逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同