第18章第1节含参变量的反常积分.ppt

2020年2月23日星期日 1 第十八章含参变量的反常积分 4 含参量反常积分一致收敛的性质 主要内容 2020年2月23日星期日 2 本节研究形如 的含参变量广义积分 无穷限积分 无界函数的积分 的连续性 可微性与可积性 2020年2月23日星期日 3 都收敛 则它的值是在区间上取值的函数 2020年2月23日星期日 4 对于含参量反常积分与函数 则称含参量反常积分在上一致收敛于 1 含参量无穷广义积分 2020年2月23日星期日 5 2 含参量瑕积分 2020年2月23日星期日 6 一致收敛的柯西准则 含参量反常积分在上一致收敛的 2020年2月23日星期日 7 一致收敛的柯西准则 含参量反常积分在上一致收敛的 2020年2月23日星期日 8 魏尔斯特拉斯 Weierstrass 判别法 若收敛 则 设有函数 使得 2020年2月23日星期日 9 证明 因为收敛 所以由广义积分一致收敛的柯西准则 有 从而 2020年2月23日星期日 10 魏尔斯特拉斯判别法 设有函数 使得 2020年2月23日星期日 11 证明 因为收敛 所以由广义积分一致收敛的柯西准则 有 从而 2020年2月23日星期日 12 阿贝耳判别法 2020年2月23日星期日 13 狄利克雷判别法 2020年2月23日星期日 14 三 含参量反常积分一致收敛的性质 1 连续性定理 1 2 2020年2月23日星期日 15 2020年2月23日星期日 16 证明 因为在内一致收敛 所以 因此 当时 又在上连续 所以作为的函数在连续 于是 就 1 的情况 2020年2月23日星期日 17 从而 当时 有 定理证毕 2020年2月23日星期日 18 2 积分顺序交换定理 设在上连续 关于在上一致收敛 则在可积 并且 即积分顺序可以交换 证明 从略 可积性定理 2020年2月23日星期日 19 可积性定理 2020年2月23日星期日 20 3 积分号下求导的定理 设在上连续 收敛 关于在上一致收敛 则 在可导 且 即求导和积分顺序可以交换 可微性定理 2020年2月23日星期日 21 可微性定理 2020年2月23日星期日 22 证明 因为在连续 由连续性定理 在连续 沿区间积分 得到 在上式两端对求导 得 定理证毕 就 1 的情况 2020年2月23日星期日 23 2020年2月23日星期日 24 证明反常积分 在R上一致收敛 含参量反常积分 在R上一致收敛 2020年2月23日星期日 25 证明含参量反常积分 在 0 d 上一致收敛 在 0 d 上一致收敛 2020年2月23日星期日 26 证明含参量反常积分 在上一致收敛 含参量反常积分 在上一致收敛 2020年2月23日星期日 27 例4证明 证明 1 用分段处理的方法 2020年2月23日星期日 28 因为 2020年2月23日星期日 29 2020年2月23日星期日 30 例5计算积分 解 2020年2月23日星期日 31 例6利用积分号下求导求积分 解因为 因为 故 2020年2月23日星期日 32 由数学归纳法易证 于是 2020年2月23日星期日 33 例7计算积分 解 令 2020年2月23日星期日 34 在第二项积分中令 得 故 2020年2月23日星期日 35 2 含参量反常积分一致收敛的定义 1 含参量反常积分的定义 3 含参量反常积分一致收敛的判别 一致收敛的柯西准则 一致收敛的充要条件 魏尔斯特拉斯判别法 2020年2月23日星期日 36 P264 2 2 3