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直线与抛物线的位置关系 一 复习回顾 1直线和抛物线的位置关系有哪几种 直线和抛物线有两个公共点 或一个公共点 直线和抛物线的对称轴平行或重合 相切 相离 相交 直线和抛物线有且只有一个公共点 且直线和抛物线的对称轴不平行也不重合 直线和抛物线没有公共点 1直线和抛物线的位置关系有哪几种 例1求过定点P 0 1 且与抛物线只有一个公共点的直线的方程 由 得 故直线x 0与抛物线只有一个交点 解 1 若直线斜率不存在 则过点P的直线方程是 由方程组 消去y得 2 若直线斜率存在 设为k 则过P点的直线方程是 y kx 1 x 0 故直线y 1与抛物线只有一个交点 当k 0时 若直线与抛物线只有一个公共点 则 此时直线方程为 综上所述 所求直线方程是x 0或y 1或 点评 本题用了分类讨论的方法 若先用数形结合 找出符合条件的直线的条数 就不会造成漏解 当k 0时 x y 1 例2在抛物线上求一点 使它到直线2x y 4 0的距离最小 解 设P x y 为抛物线上任意一点 则P到直线2x y 4 0的距离 此时y 1 当且仅当x 1时 所求点的坐标为P 1 1 另解 观察图象可知 平移直线至与抛物线相切 则切点即为所求 联立得 设切线方程为2x y C 0 由得C 1 又由 得x 1 y 1 故所求点的坐标是 1 1 点评 此处用到了数形结合的方法 2直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系 方程组两组解 相交 方程组没有解 相离 方程组一组解 相切 若消元得到一次方程 则方程组只有一组解 直线和抛物线的对称轴平行或重合 为相交关系 若消元得到二次方程 则 课堂练习 开放空间自主交流 课堂小结 1 判断直线L与圆锥曲线C的位置关系时 可将直线L的方程代入曲线C的方程 消去y得一个关于变量X的一元方程ax2 bx c 0 1 当a 0时 则有 0 L与C相交 0 L与C相切 0 L与C相离 2 当a 0时 即得到一个一次方程 则L与C相交 且只有一个交点 此时 若C为双曲线 则L与双曲线的渐近线平行 若C为抛物线 则L平行于抛物线的对称轴 当直线与双曲线 或抛物线 只有一个公共点时 直线与双曲线 抛物线 可能相切 也可能相交 在讨
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