切线长定理和三角形的内切圆.ppt

24 2 2直线与圆的位置关系 3 复习回顾 切线的判定定理 1 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 3 经过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线 1 切线和圆只有一个公共点 2 切线和圆心的距离等于半径 3 切线垂直于过切点的半径 4 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 5 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 切线的性质 o o p 1 连结OP 2 以OP为直径作 O 与 O交于A B两点 A B 即直线PA PB为 O的切线 如图 已知 O外一点P 你能用尺规过点P作 O的切线吗 通过作图你能发现什么呢 观察 实验 1 过圆外一点作圆的切线可以作两条 2 点A和点B关于直线OP对称 说明 经过圆外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长 切线长是一条线段 o p A B 如图 PA PB是 O的切线 A B为切点 如果连结OA OB OP 图中的PA与PB APO与 BPO有什么关系 探究 PA PB是 O的切线 A B为切点 OA PA OB PB 又 OA OB OP OP Rt AOP Rt BOP PA PB APO BPO 结论 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 符号语言 PA PB是 O的切线 A B为切点 PA PB APO BPO 猜想 如图 若连接AB 则OP与AB有什么关系 分析 PA PB是 O的切线 A B为切点 PA PB APO BPO OP AB 且OP平分AB C D 归纳 从圆外一点引圆的两条切线 圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦 平分切点所成的弧 例1 已知 如图 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于点D E 交AB于C 1 写出图中所有的垂直关系 2 写出图中所有的全等三角形 3 如果PA 4cm PD 2cm 求半径OA的长 A O C D P B E 解 1 OA PA OB PB OP AB 2 OAP OBP OCA OCB ACP BCP 3 设OA xcm 则PO PD x 2 x cm 在Rt OAP中 由勾股定理 得 PA2 OA2 OP2 即42 x2 x 2 2 解得x 3cm 所以 半径OA的长为3cm 利用切线长定理进行计算 P A B c 如图 P为 O外一点 PA PB分别切 O于A B两点 OP交 O于C 若PA 6 PC 2 求 O的半径OA及两切线PA PB的夹角 解 连接OA AC 则OA AP 在Rt AOP中 设OA x则OP x 2 OA2 PA2 OP2 即x2 62 x 2 2 解得x 2 即OA OC 2 OP 4 在Rt AOP中 OP 2OA APO 30 PA PB是 O的切线 APB 2 APO 60 O的半径为2 两切线的夹角为60 利用切线长定理进行证明 A B C D E O 2 1 例2 如图 已知 在 ABC中 B 90 O是AB上一点 以O为圆心 OB为半径的圆交AB于点E 交AC与点D 求证 DE OC 证明 连接 为 的半径 是 的切线 是 的切线 是切点 是 的直径 即 三角形的内切圆的定义 定义 思考 如图 是一张三角形的铁皮 如何在它上面截下一块圆形的用料 并且使圆的面积尽可能大呢 I I与 ABC的三边相切于点D E F 因此ID IE IF I的半径r 问题 作圆的关键是什么 问题 怎样确定圆心的位置 问题 圆心的位置确定后怎样确定圆的半径 确定圆心和半径 作两条角平分线 其交点就是圆心的位置 过圆心作三角形一边的垂线 垂线段的长就是圆的半径 作圆 使它和已知三角形的各边都相切 已知 ABC 如图 求作 和 ABC的各边都相切的圆 问题 在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗 不能 任何一个三角形都只有一个内切圆 思考 如何作出这个圆 尺规作图 I 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点 叫做三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 3 以I为圆心 ID为半径作 I I就是所求的圆 例1作圆 使它和已知三角形的各边都相切 已知 ABC 如图 求作 和 ABC的各边都相切的圆 A B C 作法 1 作 ABC ACB的平分线BM和CN 交点为I 2 过点I作ID BC 垂足为D 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等 三角形的内心是三角形角平分线的交点 三角形的内心一定在三角形的内部 定义 和多边形各边都相切的圆叫做 这个多边形叫做 多边形的内切圆 圆的外切多边形 内切 外切 如上图 四边形DEFG是 O的四边形 O是四边形DEFG的圆 思考 我们所学的平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形中 哪些四边形一定有内切圆 菱形 正方形一定有内切圆 定义 明确 1 一个三角形有且只有一个内切圆 2 一个圆有无数个外切三角形 3 三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点 4 三角形的内心到三角形三边的距离相等 内心 三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 三角形三条角平分线的交点 1 OA OB OC 2 外心不一定在三角形的内部 1 到三边的距离相等 2 OA OB OC分别平分 BAC ABC ACB 3 内心在三角形内部 外心 三角形外接圆的圆心 例3如图 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的长度 例题 2 若 A 80 则 BOC 度 3 若 BOC 100 则 A 度 试探讨 BOC与 A之间存在怎样的数量关系 请说明理由 4 如图 ABC中 ABC 500 ACB 750 点O是内心 求 BOC的度数 巩固 例1 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的长 解 设AF x cm BD y cm CE z cm AF 4 cm BD 5 cm CE 9 cm O与 ABC的三边都相切 AF AE BD BF CE CD 思考 如果 ABC的周长为m 面积为s 那么内切圆的半径r是多少 如果已知 ABC的BC a CA b AB c 内切圆I和BC AC AB分别相切于点D E F AF BD CE分别等于多少 I x y z y z ax z bx y c 分析 设AF x BD y CE z 例4如图 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB c BC a CA b 求AF BD CE的长度 例题 5 ABC中的内切圆半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积S 6 已知三角形的内切圆半径为3 三角形的周长为20 则该三角形的面积为 7 Rt ABC中 斜边AB 10cm AC 6cm 则内切圆半径为 A B C 面积法 8 如图 ABC中 AB AC 10cm BC 8cm 求 ABC的外接圆半径r和内切圆半径R D O I 长度 直角三角形的内切圆 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 AC 3 BC 4 求 O的半径r 典型例题 这个结论可叙述为 直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和减去斜边 直角三角形的内切圆 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 三边长分别是a b c 求 O的半径r 三角形的内切圆 已知 如图 ABC的面积S 4cm2 周长等于10cm 求内切圆 O的半径r 老师提示 ABC的面积 AOB的面积 BOC的面积 AOC的面积 三角形的内切圆 已知 如图 ABC的面积为S 三边长分别为a b c 求内切圆 O的半径r 这个结论可叙述为 三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半 三角形的内切圆 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 BC 5 r 2 求 ABC的周长 A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 平行四边形 1 下列图形中 一定有内切圆的四边形是 2 如图 ABC中 E是内心 A的平分线和 ABC的外接圆相交于点D 求证 DE DB 练习 3 如图 菱形ABCD中 周长为40 ABC 120 则内切圆的半径为 A B C D 4 如图 O是 ABC的内切圆 D E F是切点 A 50 C 60 则 DOE A 70 B 110 C 120 D 130 5 等边三角形的内切圆半径 外接圆的半径和高的比为 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 3 6 存在内切圆和外接圆的四边形一定是 A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形 7 画一个边长为3cm的等边三角形 在画出