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第1课时圆的标准方程 生活中 我们经常接触一些圆形 下面我们就一起来认识一下圆吧 思考1 什么样的点集是圆 提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合就是圆 定点就是圆心 定长就是圆的半径 思考2 一个圆中 圆心和半径的作用分别是什么 提示 圆心决定了圆的位置 半径决定了圆的大小 1 解 圆的标准方程 解 因为圆心为A 2 3 半径长等于5所求的圆的标准方程是 写出圆心为A 2 3 半径长等于5的圆的方程 即时训练 想一想 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中有几个待确定的量 要求它们需几个独立的条件 提示 三个待确定的量a b r 要求它们需三个独立的条件 x 1 2 y 1 2 2 几何法 方法二 解析 设圆的标准方程为因为该圆经过原点所以可将代入方程解得所以圆的标准方程为 待定系数法 解 根据已知条件 圆心C a b 是M1M2的中点 那么它的坐标为 变式练习 已知两点M1 4 9 和M2 6 3 求以M1M2为直径的圆的方程 所求圆的方程为 圆的半径为 温馨提示 中点坐标 A x1 y1 B x2 y2 的中点坐标为 例2已知圆心为C的圆经过点A 1 1 和B 2 2 且圆心C在直线l x y 1 0上 求圆心为C的圆的标准方程 x y O A 1 1 B 2 2 圆心C 两条直线的交点 半径CA 圆心到圆上一点 x y O A 1 1 B 2 2 弦AB的垂直平分线 例2已知圆心为C的圆经过点A 1 1 和B 2 2 且圆心C在直线l x y 1 0上 求圆心为C的圆的标准方程 解 方法一 几何法 因为A 1 1 和B 2 2 所以线段AB的中点D的坐标为 直线AB的斜率 因此线段AB的垂直平分线l 的方程是 即x 3y 3 0 x y O A 1 1 B 2 2 D l 解方程组 得 所以圆心C的坐标是 圆心为C的圆的半径长 所以 圆心为C的圆的标准方程是 方法二 待定系数法 设所求圆的标准方程为由条件知解得故所求圆的标准方程为 圆心 两条弦的中垂线的交点 半径 圆心到圆上一点 x y O A 5 1 B 7 3 C 2 8 变式练习 的三个顶点的坐标分别为A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接圆的方程 D E 变式练习 的三个顶点的坐标分别A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接圆的方程 解 设所求圆的方程是 1 因为A 5 1 B 7 3 C 2 8 都在圆上 所以它们的坐标都满足方程 1 于是 待定系数法 所求圆的方程为 提升总结 确定圆的标准方程的方法 1 几何法 利用平面几何知识确定圆心和半径 2 待定系数法一般步骤为 根据题意 设所求的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 根据已知条件 建立关于a b r的方程组 解方程组 求出a b r的值 并把它们代入所设的方程中去 就得到所求圆的方程 圆的标准方程
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