分块矩阵及其应用.doc

分块矩阵及其运用摘 要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。关键词 矩阵 分块矩阵 初等变换 应用1BlockMatrix and its ApplicationAbstract: Matrix is an important concept in high algebra，its often used to deal with high order matrix and its an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary blockmatrix and its natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on. A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix blockmatrix elementary transformation application 2目 录1 前言.12 分块矩阵.12.1 分块矩阵的定义.12.2 分块矩阵的运算.22.2.1 加法.22.2.2 数乘.22.2.3 乘法.22.2.4 转置.42.3 两种特殊的分块矩阵.42.3.1 分块对角矩阵.42.3.2 分块上（下）三角形矩阵.52.4 两种常见的分块方法.62.5 分块矩阵的初等变换.72.6 分块初等矩阵及其性质.73 分块矩阵的应用.83.1 在行列式计算中的应用.93.2 在证明矩阵秩的问题中的应用.173.3 在逆矩阵问题中的应用.253.3.1 解线性方程组法.263.3.2 初等变换法.273.3.3 三角分解法.293.4 在解线性方程组问题中的应用.303.4.1 齐次线性方程组.303.4.2 非齐次线性方程组.313.5 在线性相关性及矩阵分解中的应用.343.5.1 关于矩阵列（行）向量的线性相关性.343.5.2 矩阵的分解.3433.6 在特征值问题中的应用.353.7 分块矩阵在相似问题中的应用.373.8 分块矩阵在合同问题中的应用.383.9分块矩阵在矩阵分解中的应用.403.10 分块矩阵的其他应用.414 结束语.42参考文献.43致谢.4441 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。矩阵的相关理论和应用，常见于很多学科中，如线性代数、线性规划、统计分析以及组合数学等。实际生活中，很多问题都可以用矩阵抽象出来进行描述和运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等。但是，当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，如果用一般处理低阶矩阵的方法，往往会使计算或证明过程变得繁琐。为了方便研究，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块，这些子块矩阵构成分块矩阵。把每个子块矩阵看成是一个元素，在运算中，把这些子块矩阵当作矩阵中的数一样来处理。分块后，各子块矩阵间的相互关系便突显出来。所以分块矩阵可以形象地揭示一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。有不少数学问题一经用分块矩阵来处理或证明, 立即就显得非常简洁和明快。 分块矩阵是矩阵论中重要内容之一，有着非常广泛的应用。在系统学习相关知识和查阅相关文献资料后，本文主要分析、探讨分块矩阵的相关理论，以实例讨论和研究分块矩阵在计算和证明两大方面为主各方面的广泛应用。2 分块矩阵2.1 分块矩阵的定义将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵（北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，2003）。例如，其中E1，E3分别表示1阶、3阶单位矩阵，O表示31零矩阵，而。同一个矩阵可以有多种不同的分块方法，从而形成不同的分块矩阵。例如上例的矩阵也可分成也可分成，其中表示2阶单位矩阵，表示2阶零矩阵，而。分块矩阵往往能突出其结构上的特点，如上例。当然矩阵还有其他的分块方法，在此不一一列举。在运用分块矩阵时可以根据实际问题的需要对矩阵进行划分来简化问题的解决。2.2 分块矩阵的运算 从以上分块矩阵的概念中可以知道，分块矩阵是由矩阵通过某种分块方法而得来的，所以分块矩阵的运算与矩阵的运算在形式上是很相似的。2.2.1 加（减）法设A =（aij）mn，B =（bij）mn，用同样的方法对A,B进行分块，即Aij，Bij为同型矩阵，则AB =（AijBij）rs 。2.2.2 数乘设A =（aij）mn=（Aij）rs，k是任意数，定义分块矩阵A=（Aij）rs与k的数乘为kA=（kAij）rs 。2.2.3 乘法 设A =（aik）sn，B =（bkj）nm，A的列数和B的行数一定要相同，把A，B分成一些小矩阵（A的列分法和B的行分法要相同）：， ，其中每个Aij是sinj小矩阵，每个Bij是nimj小矩阵。于是有C=AB=。其中Cpq=Ap1B1q+Ap2B2q+.+AplBlq=（p=1,2，.，t；q=1,2，.，r）。例如，A=，其中E2表示2级单位矩阵，而A1=，O=。B=，其中B11=，B12=，B21=，B22=。在计算AB时，把A，B都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算。于是AB=，其中A1B11+B21=+=，A1B12+B22=+=。所以AB=。2.2.4 转置 设有一个rs块的分块矩阵，有，转置时，先将每一个子块矩阵看成一个元素进行转置，再对每一个子块矩阵进行转置。由以上讨论可以看出，分块矩阵的运算法则与一般矩阵的运算法则类似。分块矩阵的运算归结为它们的子块的运算，因此利用分块矩阵可以将大矩阵的运算转化为一些小矩阵的运算，从而使矩阵的运算得到简化。值得注意的是，在利用分块矩阵进行运算时，必须注意相应运算的前提条件。例如，分块矩阵相加时，划分的对应子块应当同型；相乘时，划分的对应子块应当可乘。2.3 两种特殊的分块矩阵有两种特殊的分块矩阵，有不同于一般分块矩阵的性质，下面分别讨论。2.3.1 分块对角矩阵设A为n阶方阵，若A的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵，且在主对角线上的子块都是方阵，即其中表示零矩阵，都是方阵，那么称为分块对角矩阵。例如，就是分块对角矩阵。显然，对角矩阵是分块对角矩阵的特例。分块对角矩阵具有与对角矩阵类似的性质。设为分块对角矩阵，则（1） ；（2） 若，则可逆，且；（3） 同结构的准对角矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是准对角矩阵，且运算表现为对应子块的运算。例1 求A=的逆矩阵。解 将分块如下：，其中都可逆，且。所以。2.3.2 分块上（下）三角形矩阵对方阵进行分块后，主对角线上的子块矩阵都是方阵，主对角线以下（以上）的子块矩阵都是零矩阵，即（或），称为分块上（下）三角形矩阵。分块上（下）三角形矩阵具有如下性质：（1） 同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的分块矩阵。（2） 数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。（3） 分块上（下）三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆；若可逆，则的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。（5） 分块上（下）三角形矩阵对应的行列式：。2.4 两种常见的分块方法 在矩阵的分块法中，有两种比较常见的简单而有用的分块法，就是按行分块和按列分块。对于矩阵，若第行记作。则称为矩阵A的行向量组，矩阵A可记为。若A的第列记作则称为矩阵A的列向量组，矩阵A可记为。2.5 分块矩阵的初等变换矩阵的初等变换的概念可以推广到分块矩阵的情形。以下三种变换称为分块矩阵A的初等行变换（鲁礼勇，2004）：（1） 对调A的某两行；（2） 用一个可逆阵K左乘或右乘A的某一行的所有子块矩阵；（3） 将A的某一行的所有子块矩阵左乘或右乘一个矩阵K再加到另一行的对应子块矩阵上去。类似地，可以定义分块矩阵的初等列变换。分块矩阵的初等行变换和初等列变换合称为分块矩阵的初等变换。2.6 分块初等矩阵及其性质为方便起见，以常用的分块矩阵作定义。设有单位矩阵Em+n，对Em+n进行分块，即Em+n=，然后对其作一次相应的初等行变换：（1） 对Em+n进行行调换，得到；（2） 用一个可逆阵K左乘或右乘Em+n的某一行的所有子块矩阵，得到，；（3） 将Em+n的某一行的所有子块矩阵左乘或右乘一个矩阵K再加到另一行的对应子块矩阵上去，得到，。类似地，我们可以对Em+n进行相应的初等列变换。以上所得到的5个矩阵，称为分块初等矩阵。分块初等矩阵具有如下性质：（1） 分块初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同类型的分块初等矩阵，且 ； =，=； =，=。证明 因为，所以。 因为=，所以=；因为=，所以=。 因为=，所以 =；因为=，所以=。（2） 分块初等矩阵的转置仍是分块初等矩阵。分块初等矩阵和分块初等变换的关系与矩阵的初等矩阵和初等变换的关系也是一致的，即（3） 对一个分块矩阵A做分块初等行（列）变换，等同于在A的左（右）边乘上一个对应的分块初等矩阵。 （4） 分块初等变换不改变分块矩阵的秩。3 分块矩阵的应用3.1 在行列式计算中的应用命题1 （1） 设矩阵P=为m+n阶矩阵，B为m阶方阵，C为n阶方阵，A为mn矩阵，O为nm矩阵，则=（-1）mn；（2） 设矩阵P=为m+n阶矩阵，B为m阶方阵，C为n阶方阵，O为mn矩阵，D为nm矩阵，则=（-1）mn（北京大学几何与代数教研室代数小组，1991）。证明 （1）由分块矩阵的乘法，可得=，两边同时求行列式可得=，即（-1）mn=，所以=（-1）mn。（2） 同理，由分块矩阵的乘法，可得=，两边同时求行列式可得=，即（-1）mn=，所以=（-1）mn。例2 试求行列式的值。解 令矩阵P=，将P分块为P=，其中A=，B=，C=。由命题1中的（1）得=（-1）mn，其中m=3，n=2，所以=（-1）32（-3）（-4）=12。推论1 若矩阵P=为m+n阶矩阵，B为m阶方阵，C为n阶方阵，则P=（-1）mn。证明 由命题1及分块矩阵的乘法，得=，两边同时求行列式可得，即（-1）mn=，所以P=（-1）mn。命题2 设矩阵P=为m+n阶矩阵，A为m阶方阵，D为n阶方阵，B为mn矩阵，C为nm矩阵，则（1） 当A可逆时，有=；（2） 当D可逆时，有=（杨子胥，2002）。证明 （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，可得=，两边同时取行列式，得=，所以有=。（2） 同理，若D可逆，有=,两边同时取行列式，得=。例3 试计算2n阶行列式的值。解 将矩阵P分块为P=，其中，A，B，C，D均为n阶方阵，且不等于0。由命题2中的（1）得=，CA-1B=，D-CA-1B=，所以=（-5）n。例4 求形如P=的阶反对称矩阵行列式的值，其中n为偶数，a0。解 令P=，其中A=，B=，C=，D=，因为a0，所以=a20，所以可逆。由命题2的（1），可得=，A-1=，CA-1=，CA-1B=，D-CA-1B=，令P1=D-CA-1B，则P1为形如P的阶反对称矩阵，同理，将P1分块为，其中A1=A，由命题2的（1）可得D1-C1A1-1B1为形如P的阶反对称矩阵，=，继续将得到的D1-C1A1-1B1按将P分块的方式进行分块，再将得到的阶反对称矩阵行列式值代入=，如此反复直到得到的子块矩阵Dr为2阶方阵，当n=2时，=；当n=4时，=，P1=，=；当n=6时，=，P2=，=；.所以=，=a2，所以=an。推论2 设矩阵P=，若A，B，C，D均为n阶方阵，其中A为可逆矩阵，且AC=CA，则：=。证明 因为A可逆，由命题1可得=。命题3 设矩阵P=，、均为阶方阵，则(1) 当且时，=； (2) 当且时，=；(3) 当且时，=；(4) 当且时，=证明 由、均为阶方阵，当且时，利用命题2得，即=，(2) 、(3)、(4)类似可得。例5 试计算行列式=的值。解 令P=，其中A=，B=，C=，D=。因为0，且，由命题3中的（1）得，=，AB=，CD=，AB-CD=，所以=-2。命题4 设A，B均为n阶方阵，则=。证明 由分块矩阵的乘法可得=，两边同时求行列式得=。例6 试计算行列式的值。解 令矩阵P=，将矩阵P分块，得P=，其中A=，B=，由命题4可得=（-19）*（-5）=95。命题5 设为阶可逆方阵，与均为维列向量，则证明 因为 （3.1） （3.2）（3.1）（3.2）两式两边同时取行列式，可得 （3.3） （3.4）由（3.3）（3.4）两式可得=，命题得证。例7 试计算行列式=的值。解 令A=，=，=，则=。可以看出=，由命题5可得=，=bn，=，A-1=，A-1=，A-1=，所以=bn=。推论3 设A为n阶可逆矩阵，与均为维列向量，则。 证明 由命题4，得-1=，即=。3.2 在证明矩阵秩的问题中的应用关于矩阵秩的一些结论,有着各种不同的证明方法。其中利用分块矩阵的方法证明矩阵秩的一些问题显得非常简洁，有其独特的优越性。引理1 可逆矩阵与另一矩阵X相乘所得矩阵的秩等于矩阵X的秩。引理2 矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩，即秩ABmin（秩A，秩B）。引理3 秩A+秩B秩；特别地，秩A+秩B秩。引理4 秩=秩；特别地，秩=秩。引理5 分块矩阵经过初等变换后，它的秩保持不变。引理6 一个矩阵的秩不小于其子块的秩。 下面利用分块矩阵证明一些矩阵的秩的问题。命题1 秩=秩A+秩B。证明 设秩A=r，秩B=s，存在可逆矩阵P1Q1及P2Q2，使P1AQ1=，P2AQ2=，=。由引理1可得秩=秩=r+s=秩A+秩B。命题2 设A,B都是mn矩阵，则秩（A+B）秩A+秩B。证明 因为=A+B，由引理2及命题1可得秩（A+B）秩=秩A+秩B。推论1 设A,B都是mn矩阵，则秩A-秩B秩（A-B）。证明 A=A-B+B，由命题2可得秩A=秩（A-B+B）秩（A-B）+秩B，即秩A-秩B秩（A-B）。命题3 设A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB=0，则秩A+秩Bn。证明 因为AB=0，有=，由引理3可得秩A+秩B秩，由引理2可得秩秩=秩=n，所以有秩A+秩B秩n。推论2 设A为n阶方阵，且A2=E，则秩（A+E）+秩（A-E）=n。证明 由A2=E可得（A+E）（A-E）=O，由命题3可得秩（A+E）+秩（A-E）n，由A2=E可知A可逆，由引理1可得秩A=n，秩2A=秩（A+E）+（A-E）=n，由命题2可得秩（A+E）+（A-E）秩（A+E）+秩（A-E），即秩（A+E）+秩（A-E）n，综上所述，可得秩（A+E）+秩（A-E）=n。推论3 设A为n阶方阵，且A2=A，则秩A+秩（A-E）=n。证明 因为A2=A，所以A（A-E）=O，由命题3可得秩A+秩（A-E）n，由命题2可得秩E=n=秩A+（E-A）秩A+秩（E-A）=秩A+秩（A-E），即秩A+秩（A-E）n，综上所述，可得秩A+秩（A-E）=n。推论4 设A,B,C,D均为n阶方阵，且秩C=n，A（BA+C）=O，则秩A+秩（BA+C）=n。证明 由命题1得秩A+秩（BA+C）=秩=秩=秩秩C=n。因为A（BA+C）=O，由命题3得秩A+秩（BA+C）n，综上所述得秩A+秩（BA+C）=n。命题4 设A是mn矩阵，B是np矩阵，C=AB，则：（1） 如果秩A=n，则秩C=秩B；（2） 如果秩B=n，则秩C=秩A。证明 （1）=，因为可逆，所以秩=秩。由引理4及命题1得秩=秩=秩AB+n；由引理3得秩秩A+秩B，所以有秩AB+n秩A+秩B，因为秩A=n，所以秩AB秩B，即秩C秩B，又因为矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩，可得秩C秩B，所以秩C=秩B。（2） 同理可得如果秩B=n，则秩C=秩A。命题5 设A是mn矩阵，B是np矩阵，则秩AB 秩A+秩B-n。证明 设C=，有秩C 秩A+秩B。构造=，因为及为可逆矩阵，所以秩=秩。由引理3得秩 秩A+秩B，由命题1得秩=秩AB+n，所以有秩AB+n秩A+秩B，即秩AB 秩A+秩B-n。命题6 A,B,C均为n阶方阵，则秩AB+秩BC秩B+秩ABC。证明 设P=，则秩P=秩B+秩ABC，构造=，由引理3可得秩秩AB+秩BC，又因及可逆，所以秩=秩=秩P，所以有秩P秩AB+秩BC，即秩B+秩ABC秩AB+秩BC。命题7 设A,B都是n阶方阵，则秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）。证明 =，由引理2可得秩秩。又因秩（AB-E）秩，所以秩（AB-E）秩=秩，由命题1得秩=秩（A-E）+秩（B-E），所以秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）。命题8 设A,B都是n阶方阵，则秩（AB+A+B）秩A+秩B（孔庆兰，2006）。证明 因为=，由引理2可得秩秩=秩，由命题1可得秩=秩A+秩B，即秩秩A+秩B，又因秩（AB+A+B）秩，所以有秩（AB+A+B）秩A+秩B。命题9 设A,B均为mn矩阵，则秩（A+B）秩秩A+秩B。证明 =，由引理2得秩（A+B）=秩秩=秩，由=得秩秩，由命题1得秩=秩A+秩B，所以秩秩A+秩B，秩=秩秩，因此秩秩A+秩B，综上所述，有秩（A+B）秩秩A+秩B。命题10 设A均为mn矩阵，As是从A中取s行得到的矩阵，则秩As秩A+sm（刘力，2006）。证明 设是As是A的前s行，A的剩余部分构成矩阵B，则A=+，由命题2得秩A=秩秩+秩秩As+ms，所以秩As秩A+sm。命题11 设A均为mn矩阵，B是A的一个st矩阵，则秩B秩A+s+tmn。证明 设B在A的左上角，设A=+，由命题2得秩A=秩秩+秩=秩+秩，由命题11得秩秩B+ms，又因秩nt，所以秩A秩B+ms+nt，即秩B秩A+s+tmn。命题12 若秩AB=秩B，试证对任意可右乘矩阵C有秩ABC=秩BC。证明 由=，可得秩=秩，由引理3可得秩AB+秩BC秩，由引理4可得秩=秩=秩ABC+秩B，所以有秩AB+秩BC秩ABC+秩B，又因秩AB=秩B，所以有秩B+秩BC秩ABC+秩B，即秩BC秩ABC，又由引理2可得秩ABC秩BC，综上所述可得秩ABC=秩BC。命题13 设A为sn矩阵，则有秩（EnATA）秩（EsAAT）=ns。证明 由=，得秩=秩，秩=秩，由引理4得秩=秩=秩,由命题1得秩=秩（Es-AAT）+n，即 秩=秩（EsAAT）+n， （3.5）又因=，得秩=秩，同理可求得 秩=秩=秩（EnATA）+s， （3.6）由（3.5）（3.6）两式得秩（EsAAT）+n=秩（EnATA）+s，即秩（EnATA）秩（EsAAT）=ns。 命题14 设A,B,C,D均为n阶矩阵，若AC=CA,AD=CB,且0，设G=，则n秩G2n。证明 因为0，所以A可逆，秩A=n，所以秩G=秩n，=，=，由AC=CA得C=A-1CA，由AD=CB，得D=A-1CB，所以DCA-1B=DA-1CB=A-1CBA-1CB=O，=0，所以秩G2n。综上所述，有n秩G2n。命题15 如果秩（AE）=r，秩（BE）=s，则秩（ABE） r+s。证明 设P=，由命题1得秩P=秩（AE）+秩（BE）=r+s，=，=，因为及均为可逆矩阵，所以秩=秩=秩=r+s，另外，显然有秩（ABE）秩，所以有秩（ABE）r+s。命题16 设A,B均为n阶方阵，且ABA=B-1，则秩（EAB）+秩（E+AB）=n。证明 由命题1得秩（EAB）+秩（E+AB）=秩=秩秩2E=n，由引理3得秩秩（EAB）+秩（E+AB），秩=秩 =秩=秩=秩=秩=n，所以秩（EAB）+秩（E+AB）n。综上所述有秩（EAB）+秩（E+AB）=n。3.3 在逆矩阵问题中的应用求可逆矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，但此类方法对于阶数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再通过分块矩阵的一些运算进行计算，可起到事半功倍的作用。3.3.1 解线性方程组法 设n阶可逆矩阵P=，其中A1，A2分别为k，nk阶可逆矩阵，求P-1（张敏，2003）。解 设P-1=，其中W,Z分别为k，nk阶可逆矩阵，根据逆矩阵的定义有PP-1=E，即=，可得下列方程组 ， （3.7） ， （3.8）由方程组（3.7）可得 Y=A4-1A3W， （3.9）W=（A1A2A4-1A3）-1， （3.10）将（3.10）代入（3.9）中得Y=A4-1A3（A1A2A4-1A3）-1，由方程组（3.8）可得Z=（A4A3A1-1A2）-1，X=A1-1A2（A4A3A1-1A2）-1，所以P-1=。例8 已知P=，求证P可逆，并求P-1。解 令P=，A1=，A2=，A3=，A4=，显然A1，A4均为2阶可逆矩阵，可求得A1-1=，A4-1=，A1A2A4-1A3=，A4A3A1-1A2=，（A1A2A4-1A3）-1=，（A4A3A1-1A2）-1=，A4-1A3（A1A2A4-1A3）-1=，A1-1A2（A4A3A1-1A2）-1=，所以P-1=。3.3.2 初等变换法设r+s阶方阵A=，其中A1，A4分别为r，s阶可逆矩阵，则A可逆，求A-1。利用初等行变换，所以A-1=。类似地，设r+s阶方阵A=，其中A1，A4分别为r，s阶可逆矩阵，可求得A-1=。设方阵A=，其中A2，A3均为n阶可逆矩阵，可求得A-1=。设方阵A=，其中A1，A4均为n阶可逆矩阵，可求得A-1=。设方阵A=，其中A1，A2，A3均为n阶可逆矩阵，可求得A-1=。设方阵A=，其中A2，A3，A4均为n阶可逆矩阵，可求得A-1=（龚爱玲,1995）。例9 设P=，求P-1。解 设P=，A1=，A2=，A4=，显然A1，A4均为2阶可逆矩阵，则P-1=，可求得A1-1=，A4-1=，A1-1A2A4-1=，所以P-1=。3.3.3 三角分解法设A=是一个n阶满秩矩阵，若A中存在0（1rn），令A=，其中A1=，A2=，A3=，A4=，A一定可以分解成两个可逆矩阵的乘积，可以令A=LU，A-1=（LU）-1=U-1L-1，其中L=，U=，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵（苏明珍，陈晓萌，1996）。例10 求A=的逆A-1。解 令A=，其中A1=，=70，所以可按三角分解法求解，A2=，A3=，A4=，A1-1=,解得L=，U=，L-1=，U-1=，A-1=（LU）-1=U-1L-1=。3.4 在解线性方程组问题中的应用3.4.1 齐次线性方程组设一般的齐次线性方程组为AX=O其中，X=。 设秩A=rn，则方程组基础解系存在，且基础解系中含线性无关解的个数为nr，其通解为x=c11+c22+.+cn-rn-r。事实上，假设A的r阶非零子式位于A的左上角（如果不在左上角通过互换行列可以达到目的），则A经过初等行变换可化为标准阶梯形A=，由=O，得=，满足AX=O，所以=为AX=O的nr个解。设=是AX=O的一个解，因为是AX=O的解，所以线性组合也是AX=O的解，所以任一个解都可以由线性表示，即是方程组AX=O的一个基础解系。例11 解方程组解 系数矩阵A=，秩A=2，基础解系含n-2=2个解，基础解系为=，即1=，2=，通解为x=c11+c22，c1，c2R。3.4.2 非齐次线性方程组若n阶方阵A行列式，令，其中A1，A4分别为r，nr阶方阵，若，则一定存在一个上三角分块矩阵，令，其中，因为，所以，又因，所以。对于该结论，用于求解n个方程的非齐次线性方程组是比较简单的，可按如下过程求解。设有一非齐次线性方程组，写成矩阵方程为AX=B，A为系数矩阵，X=，B=，若0，则方程组有唯一解。令A=，其中A1，A4分别为r，nr阶方阵，若0，把X和B进行对应的分块，使X=，B=，B1的行数等于A1，A2的行数，B2的行数等于A3，A4的行数，AX=B可写成=，等式两边分别左乘上三角分块矩阵M=，可得 = （3.11）其中G=A1-A2A4-1A3。将（3.11）式分解为两个矩阵方程，可得X1=G-1（B1-A2A4-1B2），X2=A4-1（B2-A3X1），于是可求出方程的解X=。例12 求解非齐次线性方程组。解 将该非齐次线性方程组写成AX=B，令系数矩阵A=，其中A1=，A2=，A3=，A4=，可求得A4-1=，A2A4-1=。令B=，其中B1=，B2=。令X=，其中A2A4-1A3=，G=A1A2A4-1A3=，A2A4-1B2=，G-1=，X1=G-1（B1A2A4-1B2）=，X2=A4-1（B2A3X1）=，即该非齐次线性方程组的解为x1=1,x2=2,x3=3,x4=2,x5=1。3.5 在线性相关性及矩阵分解中的应用3.5.1 关于矩阵列(行)向量的线性相关性命题1 矩阵A的列线性无关的充分必要条件是AX=O只有零解。证明 必要性。令，其中Ai（）是A的列向量，令X=，因为A的列线性无关，所以当x1A1+x2A2+.+xnAn=O时，xi（）=0，即AX=O只有零解。充分性。令，其中Ai（）是A的列向量，令X=，当x1A1+x2A2+.+xnAn=O只有零解时，即xi（）=0，可得线性无关。例13 矩阵B列线性无关,BC=A，求证：C列线性无关的充要条件是A列线性无关。证明 充分性。当A列线性无关时，AX=O只有零解，因为BC=A，所以BCX=O只有零解，又因B列线性无关,所以BCX=B（CX）=O只有零解，即CX里元素全为零，所以B列线性无关。必要性。因为B，C的列都线性无关，所以BCX=O只有零解，又因BC=A，所以AX=O只有零解，所以A列线性无关。推论1 设AstO，则（1） Ast的列线性相关（即秩At）的充要条件是存在BtsO使AB=O；（2） Ast的行线性相关（即秩As）的充要条件是存在CtsO使CA=O。证明 （1）充分性。若存在BtsO使AB=O，则由命题1可得Ast的列线性相关；必要性。因为Ast的列线性相关，所以AB=O存在非零解，即存在BtsO。（2） 证明过程同上。3.5.2 矩阵的分解设秩Amk=r，则（1） 存在Mmj，Njk，秩M=秩N=r，使得A=MN；（2） 存在Hmk，Skk，秩H=秩S=r，使得A=HS。证明 存在Pmm,Qkk,0,0,使PAQ=，所以A=P-1Q-1，（1） 令P-1=，Q-1=，其中Mmj，Njk的秩均为r，A=P-1Q-1=MmjNjk，所以存在Mmj，Njk，秩M=秩N=r，使得A=MN。（2） =，令Hmk=P-1，Skk=Q-1，其中Hmk，Skk的秩均为r。A=P-1Q-1=P-1Q-1=HmkSkk，所以存在Hmk，Skk，秩H=秩S=r，使得A=HS。3.6 在特征值问题中的应用 在线性代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性。而在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明例14 设是矩阵，是矩阵，证明的特征多项式与的特征多项式有关系：（孙要伟，郑远平，2008）。证明 将以上关系式改写为，构造分块矩阵，将P左乘一个广义初等分块矩阵，得，两边分别求行列式，得。同理，将P右乘一个广义初等分块矩阵，得，两边分别求行列式，得。所以有，即。在求特征值问题中，分块矩阵通常可以在特征值不变的情况下化简原矩阵，从而简化求特征值的问题。看下面的例子。例15 求P=的特征值。解 设P=，其中A=，对P进行分块矩阵的相似变换：，由命题1可得P与相似