初二数学上册讲义(第四章 轴对称).pdf

个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 1 页 共 21 页 第第四四章章 轴对称轴对称 一 知识体系一 知识体系 1 轴对称图形 对称轴 轴对称图形 对称轴 如果一个图形沿着一条直线折叠 直线两旁的部分能够完全重合 这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形 这条直线就是它的对称轴对称轴 说明 轴对称图形是一个完整图形 它被对称轴分成的两部分完全相同完全相同 轴对称图形的 对称轴可以是 条 也可以是 条 甚至是 条 2 两个图形成轴对称 两个图形成轴对称 对于两个图形 如果沿着某条直线折叠两个图形能够完全重合 那 么这两个图形 成轴对称 这条直线就是 折叠后 相互重合的点 是对应点 叫做 对称点 说明 成轴对称的前提是 必须有两个图形 两个图形成轴对称 则 对应线段 相等 对 应角 相等 3 轴对称的性质 轴对称的性质 性质 1 成轴对称的两个图形全等 对应线段 对应角相等 性质 2 如果两个图形成轴对称 那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 4 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 垂直平分线上任意一点 到线段两端点的距离相等 5 线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定 到线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 6 作轴对称变换作轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 作轴对称图形 关键是作出对称点 7 对称与坐标的关系 对称与坐标的关系 关于 x 轴对称的点 坐标不变 坐标互为相反数 关于 y 轴对称的点 坐标不变 坐标互为相反数 8 等腰三角形等腰三角形 知识点 关键 构造全等三角形的方法 等腰三角形的定义 有两条边相等的 三角形是等腰三角形 顶角与底角关系 边的多解分析 构造等腰三角形的方法 平行线构造 三线合一的构造 截长补短法 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 底边上中线 高 顶角平分线是常 用辅助线 等腰三角形的判定 证明两边相等 等角对等边 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 2 页 共 21 页 等边三角形的性质 三边相等 三个角都相等 每一个角都等于 60 由 60 角 猜 想 30 角的直角三 角形与等边三角 形的关系 构造等边三角形的方法 60 角构造 120 角构造 等边三角形的判定 定义 三个角都相等的三角形 有一个角是 60 的等腰三角形 9 含含 30 角的直角三角形的重要结论 角的直角三角形的重要结论 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 二 解题方法二 解题方法 1 对称的应用对称的应用 当已知条件中出现了等腰三角形 角平分线 高 或垂线 或求几条折线段的最小值 等情况时 通常考虑作轴对称变换 以 补齐 图形 集中条件 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法 从定义入手 证明一个三角形有两条边相等 从角入手 证明一个三角形有两个角相等 依据是等腰三角形判定定理 等角对等边 3 构造等腰三角形的常用方法构造等腰三角形的常用方法 角平分线 平行线 等腰三角形 角平分线 垂线 或高 等腰三角形 线段中垂线构造等腰三角形 将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形 三 例题分析三 例题分析 例 1 如图 将一个直角三角形纸片 ABC ACB 90 沿线段 CD 折叠 使点 B 落在 B1处 若 ACB1 70 则 ACD A 30 B 20 C 15 D 10 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 3 页 共 21 页 例 2 如图 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 EF 是 AD 的垂直平分线 E 为垂足 EF 交 BC 的 延长线于点 F 求证 B CAF 变式题组 变式题组 1 如图 点 D 在 ABC 的 BC 边上 且 BC BD AD 则点 D 在 的垂直平分线上 2 如图 在 ABC 中 ABC 90 C 15 DE AC 于 E 且 AE EC 若 AB 3cm 则 DC cm 3 如图 在 ABC 中 BAC 126 DE FG 分别为 AB AC 的垂直平分线 则 EAG 4 ABC 中 AB AC AB 边的垂直平分线交 AC 于 F 若 AB 12cm BCF 的周长为 20cm 则 ABC 的周长是 cm 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 例 3 如图 在 ABC 中 AB AC D 在 BC 的上 且 AD BD AC CD 求 B 的度数 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 4 页 共 21 页 变式题组 1 如图所示 ABC 中 AB AC D E 分别在 AC AB 上 BD BC AD DE BE 求 A 的 度数 2 如图 在 ABC 中 AB AC BD BC AD DE EB 求 A 的度数 3 如图 在 ABC 中 AB AC BC BD ED EA 求 A 的大小 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 5 页 共 21 页 例 5 如图 ABD 为等边三角形 BCA 60 求证 AC BC CD 例 6 如图 已知 ABC 中 A 90 CA AB CE EB 于 E BE 平分 CBA 交 EB 于 D 求 证 BD 2CE 例 7 已知坐标原点 O 在点 A 2 2 B 是坐标轴上的一点 若 AOB 是等腰三角形 则这样的 点 B 一共有 个 A 4 B 5 C 6 D 8 变式题组 变式题组 1 在平面直角坐标系 xOy 内 已知 A 3 3 点 P 是 y 轴上一点 则使 AOP 为等腰三角形的 点 P 共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 如图 已知长方形纸片ABCD 点 E是AB的中点 点G是 BC 上的一点 BEG 60 现沿直线 EG 将纸片折叠 使点 B 落在纸片中的点 H 处 连接 AH 则与 BEG 相等的角的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 A E D C B 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 6 页 共 21 页 3 如图所示 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 43 点 E 是折线段 A D C 上的一个动点 点 E 与点 A 不重合 点 P 是点 A 关于 BE 的对称点 在点 E 运动的过程中 使 PCB 为等腰三角 形的点 E 的位置共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 例 8 在两个全等的含 30 60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置 E A C 三点在一条直线上 连接 BD 取 BD 的中点 M 连接 ME MC 试判断 EMC 的形状 并说 明理由 变式题组 2 如图 在等腰三角形 ABC 中 ACB 90 D 为 BC 的中点 DE AB 垂足为 E 过点 B 作 BF AC 交 DE 的延长线于点 F 连接 CF 交 AD 于 C 求证 AD CF 连接 AF 试判断 ACF 的形状 并说明理由 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 7 页 共 21 页 基础演练基础演练 一 一 选择题选择题 1 下列图案是轴对称图形的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 将写有字 B 的字条正对镜面 则镜中出现的会是 A B C D 3 下列英文字母属于轴对称图形的是 A N B S C H D F 4 下列图形中对称轴最多的是 A 圆 B 正方形 C 等腰三角形 D 线段 5 下列说法正确的是 A 等腰三角形的高 中线 角平分线互相重合 B 顶角相等的两个等腰三角形全等 C 等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D 等腰三角形的两个底角相等 6 如图 DE是 ABC中AC边的垂直平分线 若BC 8cm AB 10cm 则 EBC的周长为 A 16cm B 28cm C 26cm D 18cm 7 等腰三角形的一个角是 80 则它的底角是 A 50 或 80 B 80 C 50 D 20 或 80 8 束光线从点 A 3 3 出发 经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B 1 0 则光线从 A 点到 B 点经过的路线长是 A 4 B 5 C 6 D 7 9 等腰三角形的一个角是 40 则它的顶角是 A 40 B 100 C 40 或 100 D 70 或 50 10 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半 则这个等腰三角形的底角是 A 75 或 15 B 75 C 15 D 75 和 30 11 下列命题中真命题的个数是 如果等腰三角形内一点到底边两端距离相等 那么过这个点与顶点的直线必垂直于底边 如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段 那么延长线段的两个端点与顶点的 距离相等 等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等 等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等 E D A BC 第 6 题 B 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 8 页 共 21 页 第 2 题 A E B C D A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12 在平面直角坐标系 xoy 中 已知 2 2 在 y 轴确定点 P 使 AOP 为等腰三角形 则符合重要条件的点有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 13 已知 A 2 3 其关于 x 轴的对称点是 B B 关于 y 轴对称点是 C 那么相当于将 A 经 过 的平移到了 C A 向左平移 4 个单位 再向上平移 6 个单位 B 向左平移 4 个单位 再向下平移 6 个单位 C 向右平移 4 个单位 再向上平移 6 个单位 D 向下平移 6 个单位 再向右平移 4 个单位 14 已知 P x y 的坐标满足等式 x 2 2 y 1 0 且点P与P x y 关于 y 轴对 称 则 x y 的对应值为 A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 2 1 15 桌面上有 A B 两球 若要将 B 球射向桌面任意一边 使一次反 弹后击中 A 球 则如图所示 8 个点中 可以瞄准的点有 个 A 1 B 2 C 4 D 6 16 下列语句中正确的有 句 关于一条直线对称的两个图形一定能重合 两个能重合的图形一定关于 某条直线对称 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴 两个轴对称图 形的对应点一定在对称轴的两侧 A 1 B 2 C 3 D 4 17 已知 AOB 30 点 P 在 AOB 内部 P1与 P 关于 OB 对称 P2与 P 关于 OA 对称 则 P1 O P2 三点构成的三角形是 A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 二 填空题二 填空题 1 已知 ABC是轴对称图形 且三条高的交点恰好是C点 则 ABC的形状是 2 如图 ABC 中 A 36 AB AC BD 平分 ABC DE BC 则图中等腰三角形有 个 3 如图 ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线 AE 3cm ABD 的周长为 13cm 则 ABC 第 3 题 A B D C E 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 9 页 共 21 页 的周长为 4 已知点 A a 2 和 B 3 b 当满足条件 时 点 A 和点 B 关于 y 轴对称 5 已知 A m n 则 A 到 x 轴距离为 到 y 轴距离 为 与点 A 3 4 关于 x 轴对称点的坐标为 关于 y 轴对称点的坐标为 6 已知 A 2 b B a 4 若 A B 关于 x 轴对称 那么 a b 为 和 若 AB x 轴 那么 a b 若 AB y 轴 那么 a b 7 如图 ABC 中 AB AC A 36 AB 的中垂线 DE 交 AC 于 D 交 AB 于 E 下述结论 1 BD 平分 ABC 2 AD BD BC 3 BDC 的周长等于 AB BC 4 D 是 AC 中点 其中正确的命题序号 是 三 作图题三 作图题 1 如图 A B 是两个蓄水池 都在河岸 a 的同侧 为了方便灌溉作物 要在河边建一个抽 水站 M 将河水送到 A B 两地 问该站 M 建在河边什么地方 可使所修的渠道最短 试 在图中确定该点 保留作图痕迹 2 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 36 1 作出 AB 边的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D 交 AB 于点 E 连接 BD 2 下列结论正确的是 BD 平分 ABC AD BD BC BDC 的周长等于 AB BC D 点是 AC 中点 3 如图 14 9 所示 已知 ABC 和直线 MN 求作 A B C 使 A B C 和 ABC 关 于直线 MN 对称 不要求写作法 只保留作图痕迹 第 7 题 C B D E A a A B A C B 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 10 页 共 21 页 4 1 如图所示编号为 1 2 3 4 的四个三角形中 关于 y 轴对称的两个三角形的编号 为 关于坐标原点 O 对称的两个三角形的编号为 2 在图 4 中 画出与 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1 四 解答题四 解答题 1 如图 要在公路 MN 旁修建一个货物中转站 P 分别向 A B 两个开发区运货 1 若要求货站到 A B 两个开发区的距离相等 那么货站应建在那里 2 若要求货站到 A B 两个开发区的距离和最小 那么货站应建在那里 分别在图上找出点 P 并保留作图痕迹 写出相应的文字说明 2 如图 ABC 的边AB的延长线上有一个点 D 过点D 作 DF AC于 F 交BC 于E 且 BD BE 求证 ABC 为等腰三角形 第 第 1 题图 题图 M N A B 第 第 2 题图 题图 M N A B A B C D F E 4 3 2 1 y x 1 2 4 3 5 1 2 4 5 3 1 2 4 3 5 12435 O y x 1 2 4 3 5 1 2 4 5 3 1 2 4 3 5 12435 C B A O 图 4 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 11 页 共 21 页 3 如图 在 ABC 中 AB AD DC B C 120 求 BAD 的度数 4 如图 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 DE AB 于 E DF AC 于点 F 且 BE CF 求证 AD BC 5 如图 ABC 和 ADE 是等边三角形 证明 BD CE E C B A F D A BC D E A B DC 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 12 页 共 21 页 6 如图 已知等边 ABC 中 D 是 AC 的中点 E 是 BC 延长线上的一点 且 CE CD DM BC 垂足为 M 求证 M 是 BE 的中点 9 如图 已知 AD 是 BAC 的平分线 DE AB DF AC 垂足分别是 E F 求证 AD 垂 直平分 EF 能力提升能力提升 1 如右图 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下 则所得图形大致是 2 正方形 等腰三角形 长方形 圆 等边三 角形都是轴对称图形 按对称轴由少到多的顺序 排列是 A B C D 3 下列说法正确的有 个 线段的对称轴有两条 角的对称轴是角的平分线 两点关于连接它们的线段的中垂 线对称 到直线 MN 的距离相等的两点关于 MN 对称 A 1 B 2 C 3 D 4 4 下列说法错误的是 A D E 是线段 AB 的垂直平分线上的两点 则 AD BD AE BE B 若 PA PB 则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B D CM E 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 13 页 共 21 页 C 若 AD BD AE BE 则直线 DE 是线段 AB 的垂直平分线 D 若 PA PB 则过 P 点的直线是线段 AB 的垂直平分线 5 已知点 P1 a 1 5 和 P2 2 b 1 关于 x 轴对称 则 a b 2005 的值为 A 0 B 1 C 1 D 3 2005 6 如图 先将正方形纸片对折 折痕为 MN 再把 B 点折叠在折痕 MN 上 折痕为 AE 点 B 在 MN 上的对应点为 H 沿 AH 和 DH 剪下 这样剪得的三角形中 A ADDHAH B ADDHAH C DHADAH D ADDHAH 7 等腰三角形 ABC 在直角坐标系中 底边的两端点坐标是 2 0 6 0 则其顶点的坐标 能确定 的是 A 横坐标 B 纵坐标 C 横坐标及纵坐标 D 横坐标或纵坐标 8 如图 一张长方形纸沿 AB 对折 以 AB 中点 O 为顶点将平角五等分 并沿五等分的折线折叠 再沿 CD 剪开 使展开后为正五角星 正五边形对角线所构成的图形 则 OCD 等于 A 108 B 114 C 126 D 129 9 如图 在 ABC中 AB AC AD是BC边上的高 点E F是AD的三等分点 若 ABC的 面积为 12cm 2 则图中阴影部分的面积是 cm2 10 如图 D 是 AB 边上的中点 将ABC 沿过 D 的直线折叠 使点 A 落在 BC 上 F 处 若 50B 则BDF 度 11 如下图 MAN 是一钢架 且 MAN 150 为使钢架更加坚固 需在其内部加一些钢 管 CD DE EF 添加的钢管长度都与 AC 相等 则最多最多能添加这样的钢管 根 12 如图 ABD ACE 都是正三角形 BE 和 CD 交于 O 点 则 BOC B A C D F E 9 题 F E D C B A 10 题 A B C D O E A B C D M N H E 11 题 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 14 页 共 21 页 13 由 16 个相同的小正方形拼成的正方形网格 现将其中 的两个小正方形涂黑 如图 请你用两种不同的方法分别在 上图中将两个空白的小正方形涂黑 使它成为轴对称图形 14 如图 在 ABC 中 ABC 2 C BD 平分 ABC DE AB E 在 AB 之间 DF BC 已知 BD 5 DE 3 CF 4 试求 DFC 的周长 15 在 ABC 中 AB AC A 120 BC 6 AB 的垂直平分线交 BC 于 M 交 AB 于 E AC 的垂直平分线交 BC 于 N 交 AC 于 F 求证 BM MN NC 16 如图 已知 ABC 中 C 90 CA CB CD AB 于 D CE 平分 BCD 交 AB 于 E AF 平 分 A 交 CD 于 F 求证 EF BC N F E M C B A H G F E D C B A A B C D E F 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 15 页 共 21 页 挑战自我挑战自我 1 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1 4 则这个等腰三角形顶角的度数为 A 20 B 120 C 20 或 120 D 36 2 已知一个等腰三角形两条边分别为 6 和 3 则此等腰三角形周长为 A 9 B 15 C 12 D 12 或 15 3 如图 等腰 ABC 的周长为 21 底边 BC 5 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 则 BEC 的周长为 A 13 B 14 C 15 D 16 4 如图 C E 和 B D F 分别在 GAH 的两边上 且 AB BC CD DE EF 若 A 18 则 GEF 的度数是 A 80 B 90 C 100 D 108 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 5 如图 在 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高 角平分线 AE 交 CD 于 H EF AB 于 F 则下列结论 中不正确的是 A ACD B B CH CE EF C CH HD D AC AF 6 如图 ABC 中 ABC 与 ACB 的平分线交于点 F 过点 F 作 DE BC 交 AB 于点 D 交 AC 于 点 E 那么下列结论 ABC 和 CEF 都是等腰三角形 DE BD CE ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和 BF CF 其中正确的有 A B C D 7 如图 已知 O 是四边形 ABCD 内一点 OA OB OC ABC ADC 70 则 DAO DCO 的大小是 A 70 B 110 C 140 D 150 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 8 已知等腰 ABC 的周长为 10 若设腰为 则 的取值范围是 9 如图 AB AC BD BC 若 A 40 则 ABD 的度数是 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 16 页 共 21 页 10 如图 在已知 ABC 中 AB AC MN NA BAM NAC 则 MAC 11 如图 AA BB 分别是 EAB DBC 的平分线 若 AA BB AB 则 BAC 的度数为 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 12 如图 点 D 是等边 ABC 边 AB 上的一点 AB 3AD DE BC 于点 E AE CD 相交于点 F 求证 ACD BAE 过点 C 作 CG AE 垂足为点 G 探究 CF 与 FG 之间的数量关系 并证明 13 已知 如图 ABC 是等边三角形 D 是 AB 边上的点 将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 60 得 到线段 DE 延长 ED 交 AC 与点 F 连接 DC AE 求证 ADE DFC 个性化精准辅导体系 初二数学上册同步强化教程 第 17 页 共 21 页 14 如图 ABC 是等边三角形 点 D F 分别在 CA AB 的延长线上 AD BE DB 的延长线交 EC 于 F 求证 DB EC BFC 60 15 如图 在正 ABC 中 D E 分别是 BC AC 上的一点 且 AE CD AD 与 BE 相交于点 P BQ AD 于 Q 求证 BP 2PQ 16 如图 过边长为 1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P 作 PE AC 于 E Q 是 BC 延长线上一 点 当 PA CQ 时 连接 PQ 交 A