点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-3.4

点集拓扑学

第二章拓扑空间与连续映射本章教学基本要求

掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法掌握闭集和闭包等相关概念.重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明.

难点：拓扑空间,同胚映射§2.3拓扑空间的其他概念一.导集，闭集，闭包1.导集定义2.11.设为拓扑空间,,如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A的一个孤立点．说明凝聚点可以属于A,也可以不属于A

例2.4.离散空间中集合的凝聚点和导集．d(A)＝例2.5.平庸空间中集合的凝聚点和导集．定理2.12设X是一个拓扑空间，则:(1)

(2)

(3)

(4)

证明(3)必要性:如果综上所述，可见(3)必要性成立．证明(4)设：(4)

由此(4)成立2.闭集定义2.12.设X是一个拓扑空间，,如果A的每一个凝聚点都属于A，即:,则称A是拓扑空间X中的一个闭集．说明离散空间中的任何一个子集都是闭集平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集定理2.13设X是一个拓扑空间，则A是一个闭集，当且仅当A的补集是开集.证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集．例2.6实数空间R中作为闭集的区间．设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集.(-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更是一个闭集．（a，b]，[a，b）是否闭集?回答:不是定理2.14.设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：(1)

(3)若.则∈(2)若A,B∈.则A∪B∈

有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．3.闭包定义2.13.设X是一个拓扑空间，,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作:

定理2.15拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是证明:集合A为闭集当且仅当d(A)而这又当且仅当A=A∪d(A)

定理2.16设X是一个拓扑空间,则对于任意

A,B∈X,有：定理2.17拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集.

定理2.18设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一个子集A，有

定理2.19设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：(l)f是一个连续映射(2)Y中的任何一个闭集B的原象是闭集(3)对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即(4)对于Y中的任何一个子集B，B的原象的闭包含于B的闭包的原象，即则是一个开集，因此根据(1)是X中的一个开集，因此是X中的一个闭集．证明(1)蕴涵(2)．设是闭集(2)蕴涵(3).设,由于f(A)

根据(2)，成立．(3)蕴涵(4)设集合应用(3)即得:(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集．则是Y中的一个闭集．对此集合应用(4)可见:而:二.内部与边界定义2.14.设X是一个拓扑空间，,称含于A的所有开集的并称为集合A的内部,记为:

是含于A里的最大开集定理2.19.设X是一个拓扑空间，,则A是开集的充分必要条件是A=.定理2.20.对AX,,证明:任取则,从而.任取,则,所以,,所以,所以,存在的邻域V,使得:定理2.20对A,BX,有(1)X=X;(2)AA;(3)(A∩B)=A∩B;(4)A=A.定义2.15.设X是一个拓扑空间，,如果任意的中既含有A中的点,又含有中的点,则称点为A的边界点,A的边界点之集称为边界,记为A.§2.4拓扑基与邻域基

定义2.16.设为拓扑空间,B,如果任意的,都存在B1B,使的:则称B是拓扑的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基．离散空间的一个基由所有的单点子集构成．

度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间作为拓扑空间时的一个基．则B是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一个x∈X和x的每一个邻域,存在使得:定理2.21设B是拓扑空间的一个开集族

证明:必要性,如果B是X的一个基,则对于每一个和每一个,都存在,使得:由于B是基,所以存在,使得所以,存在某个,使得充分性:对于,和每一个,于是:

定理2.22设X是一个集合，B是集合X的一个子集族,如果B满足条件：(1)(2)如果则对任何的,则X的子集族是集合X的惟一的一个以B为基的拓扑定义2.17.设为拓扑空间,,如果的所有有限非空子族之交构成的集族,即是拓扑的一个基，则称集族是拓扑的一个子基

定理2.23设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：(1)f连续；

(2)拓扑空间Y有一个基B，使得对于任何一个B∈B，是X中的一个开集；

(3)拓扑空间Y有一个子基

，使得对于任何,是X中的一个开集；定义2.18设X是一个拓扑空间，x∈X．记为x的邻域系．的子族如果满足条件：对于每一个,使得,则称是点的一个邻域基.的子族如果满足条件：每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即是x的一个邻域基，则称此是点x的邻域系的一个子基，或简称为点x的一个邻域子基．

定理2.24设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．则以下条件等价：（1）f在点x处连续；（2）f(x)有一个邻域基,使得对于任何

V∈,原象是x的一个邻域；（3）f(x)有一个邻域子基,使得对于任何

V∈,原象是x的一个邻域；定理2.25设X是一个拓扑空间，x∈X．则（1）如果B是X的一个拓扑基，则是点x的一个邻域基；={B∈B|x∈B}（2）如果是X的一个子基，则是点x的一个邻域子基．补充：覆盖：设B是拓扑空间X的子集族，若满足：B则称B是X的一个覆盖粘接引理：设是X的一个有限闭覆盖，如果映射：在每个上的限制都是连续的，则是X到Y的连续映射粘接引理：设是X的一个有限闭覆盖，如果映射：在每个上的限制都是连续的，则是X到Y的连续映射证明：只需验证Y的每个闭集的原像是闭集。设B是Y的闭集，记是在上的限制。则由于每个都是连续的，因此是的闭集。所以，有限个闭集的并仍为闭集又因为是X的闭集，所以也是X的闭集§2.5拓扑空间中的序列和其它概念定义2.19.设为拓扑空间,每个映射

叫做X中的一个序列．记为:

定义2.20.设是拓扑空间X中的一个序列,x∈X．如果对于x的每一个邻域U，存在,使得当i＞M时,有则称点x是序列的一个极限点,也称序列,收敛于x.记作:

如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列．定义2.11.设为拓扑空间,,如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)．(1)如果是一个常值序列，即对于某一个

x∈X